★ QUESTÃO 3 (2 PONTOs):
Seja
.
(a) Calcule a derivada direcional da função
no ponto
, na direção do vetor
.
(b) Determine a direção na qual a função
decresce mais rapidamente, partindo do ponto
.
(a) Calcule a derivada direcional da função
(b) Determine a direção na qual a função
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
- Função dada:
. - Ponto onde vamos trabalhar:
. - Perguntas:
(a) Calcular a derivada direcional deem na direção do vetor .
(b) Determinar a direção na qualdecresce mais rapidamente a partir de .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O vetor de direção fornecido para (a) é
. - Para calcular derivada direcional precisamos do gradiente de
e da versão unitária do vetor direção.
Passo 2
Conceitos e ideias que vou usar (explicação didática curta).
- Gradiente: o gradiente de
é o vetor das derivadas parciais,
Ele aponta na direção de maior crescimento local de
; seu módulo
é a taxa máxima de aumento.
- Derivada direcional: a derivada direcional de
em na direção do vetor unitário é
Se o vetor dado
não é unitário, primeiro normaliza-se:
.
- Direção de decrescimento mais rápido: é a direção oposta ao gradiente (isto é,
). A unidade nessa direção é . Vou explicar por que: como (onde é o ângulo entre e ), o menor valor possível (mais negativo) ocorre quando , isto é anti-paralelo ao gradiente.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
passo a passo.
Função:
.
-
Derivada parcial em relação a
: - Derivada de
é . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a : usar cadeia; , então fica .
Assim,
- Derivada de
-
Derivada parcial em relação a
: - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a : por cadeia, , multiplica pelo da frente dá .
Assim,
- Derivada de
Portanto o gradiente é
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
.
Primeiro avaliar o expoente
em
:
Agora as componentes:
Logo
Passo 5
Normalizar o vetor de direção dado
para obter o vetor unitário
.
- Norma do vetor
:
- Vetor unitário na direção de
:
Passo 6
Calcular a derivada direcional em
na direção de
.
Usar
. Então
Portanto a derivada direcional pedida é
.
Passo 7
Determinar a direção de decrescimento mais rápido a partir de
.
- A direção de máximo crescimento local é
. - Consequentemente a direção de decrescimento mais rápido é
.
Normalizando para dar a direção como vetor unitário:
- Norma do gradiente:
- Unidade na direção de decrescimento mais rápido:
Observação extra (útil para prova): a taxa máxima de decrescimento é
; isto é, se caminhar na direção
a derivada direcional vale
.