★ QUESTÃO 3 (2 PONTOs):

Seja f(x, y)=x^{3}-3 x y-e^{x-2 y}.
(a) Calcule a derivada direcional da função f no ponto (2,1), na direção do vetor (3,4).
(b) Determine a direção na qual a função f decresce mais rapidamente, partindo do ponto (2,1).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
  • Função dada: f(x,y)=x^{3}-3xy-e^{x-2y}.
  • Ponto onde vamos trabalhar: (2,1).
  • Perguntas:
    (a) Calcular a derivada direcional de f em (2,1) na direção do vetor (3,4).
    (b) Determinar a direção na qual f decresce mais rapidamente a partir de (2,1).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O vetor de direção fornecido para (a) é (3,4).
  • Para calcular derivada direcional precisamos do gradiente de f e da versão unitária do vetor direção.

Passo 2

Conceitos e ideias que vou usar (explicação didática curta).
  • Gradiente: o gradiente de f é o vetor das derivadas parciais,
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Ele aponta na direção de maior crescimento local de f; seu módulo \|\nabla f\| é a taxa máxima de aumento.
  • Derivada direcional: a derivada direcional de f em (x_0,y_0) na direção do vetor unitário u é
D_{u}f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot u.
Se o vetor dado v não é unitário, primeiro normaliza-se: u=\dfrac{v}{\|v\|}.
  • Direção de decrescimento mais rápido: é a direção oposta ao gradiente (isto é, -\nabla f). A unidade nessa direção é -\nabla f/\|\nabla f\|. Vou explicar por que: como D_{u}f=\|\nabla f\|\cos\theta (onde \theta é o ângulo entre \nabla f e u), o menor valor possível (mais negativo) ocorre quando \cos\theta=-1, isto é u anti-paralelo ao gradiente.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f passo a passo.
Função: f(x,y)=x^{3}-3xy-e^{x-2y}.
  • Derivada parcial em relação a x:
    • Derivada de x^{3} é 3x^{2}.
    • Derivada de -3xy em relação a x é -3y.
    • Derivada de -e^{x-2y} em relação a x: usar cadeia; \dfrac{d}{dx}e^{x-2y}=e^{x-2y}\cdot 1, então fica -e^{x-2y}.
      Assim,
    \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3x^{2}-3y-e^{x-2y}.
  • Derivada parcial em relação a y:
    • Derivada de x^{3} em relação a y é 0.
    • Derivada de -3xy em relação a y é -3x.
    • Derivada de -e^{x-2y} em relação a y: por cadeia, \dfrac{d}{dy}e^{x-2y}=e^{x-2y}\cdot(-2), multiplica pelo - da frente dá +2e^{x-2y}.
      Assim,
    \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-3x+2e^{x-2y}.
Portanto o gradiente é
\nabla f(x,y)=\bigl(3x^{2}-3y-e^{x-2y},\; -3x+2e^{x-2y}\bigr).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto (2,1).
Primeiro avaliar o expoente x-2y em (2,1):
x-2y = 2 - 2\cdot 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad e^{x-2y}=e^{0}=1.
Agora as componentes:
\frac{\partial f}{\partial x}(2,1)=3\cdot 2^{2}-3\cdot 1 - 1 = 3\cdot4 -3 -1 =12-3-1=8.
\frac{\partial f}{\partial y}(2,1)=-3\cdot 2 + 2\cdot 1 = -6 +2 = -4.
Logo
\nabla f(2,1)=(8,\,-4).

Passo 5

Normalizar o vetor de direção dado (3,4) para obter o vetor unitário u.
  • Norma do vetor (3,4):
\|(3,4)\|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
  • Vetor unitário na direção de (3,4):
u=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right).

Passo 6

Calcular a derivada direcional em (2,1) na direção de (3,4).
Usar D_{u}f(2,1)=\nabla f(2,1)\cdot u. Então
D_{u}f(2,1)=(8,-4)\cdot\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right) =8\cdot\frac{3}{5}+(-4)\cdot\frac{4}{5} =\frac{24-16}{5}=\frac{8}{5}.
Portanto a derivada direcional pedida é \dfrac{8}{5}.

Passo 7

Determinar a direção de decrescimento mais rápido a partir de (2,1).
  • A direção de máximo crescimento local é \nabla f(2,1)=(8,-4).
  • Consequentemente a direção de decrescimento mais rápido é -\nabla f(2,1)=(-8,4).
Normalizando para dar a direção como vetor unitário:
  • Norma do gradiente:
\|\nabla f(2,1)\|=\sqrt{8^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}.
  • Unidade na direção de decrescimento mais rápido:
u_{\text{dec}}=\frac{-\nabla f(2,1)}{\|\nabla f(2,1)\|} =\frac{(-8,4)}{4\sqrt{5}}=\left(-\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right).
Observação extra (útil para prova): a taxa máxima de decrescimento é -\|\nabla f(2,1)\|=-4\sqrt{5}; isto é, se caminhar na direção u_{\text{dec}} a derivada direcional vale -4\sqrt{5}.

Resposta

\dfrac{8}{5}
\displaystyle \left(-\dfrac{2}{\sqrt{5}},\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)

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