* QUESTÃO 1 (2 PONTOS):

Considere a função escalar f(x, y)=x \sqrt{|x y|}.
(a) Determine a continuidade de f em (0,0).
(b) Determine as derivadas parciais de f em (0,0).
(c) Determine a diferenciabilidade de f em (0,0).
(d) Determine se existem as derivadas direcionais em $(0,0).

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por
f(x,y)=x\sqrt{|x y|}.
Perguntas a responder em (0,0):
(a) f é contínua em (0,0)?
(b) Quais são as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)?
(c) f é diferenciável em (0,0)?
(d) Existem as derivadas direcionais em (0,0) (em qualquer direção) e quais são?
Vou tratar cada item com definição e cálculo passo a passo, sem pular etapas.

Passo 2

Conceito e verificação de continuidade em (0,0).
Definição: f é contínua em (0,0) se \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0). Aqui f(0,0)=0 (substituindo x=0 0\sqrt{0}=0).
Cálculo do limite: comece estimando o valor absoluto de f:
|f(x,y)|=|x|\sqrt{|x y|}.
Usando \sqrt{|xy|}=\sqrt{|x|}\sqrt{|y|} obtemos
|f(x,y)|=|x|\,\sqrt{|x|}\,\sqrt{|y|}=|x|^{3/2}|y|^{1/2}.
Agora introduzimos r=\sqrt{x^2+y^2}. Sabemos que |x|\le r e |y|\le r. Portanto
|f(x,y)| = |x|^{3/2}|y|^{1/2} \le r^{3/2} r^{1/2} = r^2.
Como r\to 0 quando (x,y)\to(0,0), segue que |f(x,y)|\le r^2\to 0. Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0=f(0,0),
portanto f é contínua em (0,0).
Comentário didático rápido: a ideia foi dominar f por uma função que depende apenas da distância ao origem ( r^2), o que garante o limite nulo. Esse tipo de estimativa por potências de r é muito útil em limites em várias variáveis.

Passo 3

Definição e cálculo das derivadas parciais em (0,0).
Definição: a derivada parcial em x em (0,0) é
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}.
Calcule f(h,0). Substituindo y=0 na definição,
f(h,0)=h\sqrt{|h\cdot 0|}=h\sqrt{0}=0.
Logo o quociente é \dfrac{0-0}{h}=0 para h\neq 0. Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0.
De modo análogo, a derivada parcial em y é
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}.
Mas f(0,h)=0 (porque x=0 anula a expressão), então o quociente é 0 e
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.
Observação pedagógica: cálculo de derivadas parciais costuma ser feito mantendo a outra variável fixa; aqui, fixar y=0 e x=0 simplifica muito porque o fator x zera a função.

Passo 4

Definição de diferenciabilidade e verificação em (0,0).
Definição: f é diferenciável em (0,0) se existe uma aplicação linear L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} tal que, chamando r=\sqrt{h^2+k^2},
f(0+h,0+k)-f(0,0)-L(h,k)=o(r)\quad\text{quando }r\to 0.
Quando as derivadas parciais existem e são contínuas numa vizinhança, L é o produto escalar com o gradiente. Mesmo sem continuidade das parciais, se f satisfaz o critério f(h,k)-f(0,0)-\nabla f(0,0)\cdot(h,k)=o(r) então é diferenciável.
Aqui já calculamos \nabla f(0,0)=(0,0). Assim L(h,k)=0. Precisamos verificar que
\frac{|f(h,k)-0|}{\sqrt{h^2+k^2}}\to 0\quad\text{quando }(h,k)\to(0,0).
Usamos a estimativa do Passo 2: para (h,k) quaisquer
|f(h,k)|\le r^2,
onde r=\sqrt{h^2+k^2}. Portanto
\frac{|f(h,k)|}{r}\le \frac{r^2}{r}=r\to 0.
Logo f(h,k)=o(r) e f é diferenciável em (0,0). O diferencial (matriz Jacobiana) em (0,0) é a linha (0,0), ou seja o mapa linear nulo.
Comentário: a estimativa |f|\le r^2 é forte o suficiente para provar diferenciabilidade, porque exige que o erro seja muito menor que a distância; esse é um padrão comum: se uma função é O(r^p) com p>1 então ela é diferenciável com derivada nula.

Passo 5

Derivadas direcionais em (0,0).
Definição: para um vetor direção u=(a,b) (normalizado ou não), a derivada direcional em u em (0,0) é
D_u f(0,0)=\lim_{t\to 0}\frac{f(t a, t b)-f(0,0)}{t},
se esse limite existir.
Calcule para u=(a,b) fixo. Primeiro
f(t a,t b) = (t a)\sqrt{|t a\cdot t b|} = (t a)\sqrt{t^2|a b|}.
Como \sqrt{t^2|ab|}=|t|\sqrt{|ab|}, temos
f(t a,t b)=a\,t\,|t|\,\sqrt{|a b|}.
Dividindo por t (para t\neq 0):
\frac{f(t a,t b)}{t}=a\,|t|\,\sqrt{|a b|}.
Quando t\to 0 esse termo tende a 0 (porque factor |t|\to 0). Portanto o limite existe e é 0. Assim, para toda direção u,
D_u f(0,0)=0.
Conexão com diferenciabilidade: como f é diferenciável em (0,0) com \nabla f(0,0)=(0,0), é esperado que todas as derivadas direcionais existam e valham \nabla f(0,0)\cdot u=0; o cálculo confirma isso.

Resposta

(a) f é contínua em (0,0).
(b) \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0 e \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.
(c) f é diferenciável em (0,0) (o diferencial é o mapa linear nulo).
(d) Todas as derivadas direcionais em (0,0) existem e valem 0.

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