* QUESTÃO 1 (2 PONTOS):
Considere a função escalar
.
(a) Determine a continuidade de
em
.
(b) Determine as derivadas parciais de
em
.
(c) Determine a diferenciabilidade de
em
.
(d) Determine se existem as derivadas direcionais em $(0,0).
(a) Determine a continuidade de
(b) Determine as derivadas parciais de
(c) Determine a diferenciabilidade de
(d) Determine se existem as derivadas direcionais em $(0,0).
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
Perguntas a responder em
:
(a) é contínua em
?
(b) Quais são as derivadas parciais e
?
(c) é diferenciável em
?
(d) Existem as derivadas direcionais em (em qualquer direção) e quais são?
(a)
(b) Quais são as derivadas parciais
(c)
(d) Existem as derivadas direcionais em
Vou tratar cada item com definição e cálculo passo a passo, sem pular etapas.
Passo 2
Conceito e verificação de continuidade em
.
Definição:
é contínua em
se
. Aqui
(substituindo
dá
).
Cálculo do limite: comece estimando o valor absoluto de
:
Usando
obtemos
Agora introduzimos
. Sabemos que
e
. Portanto
Como
quando
, segue que
. Logo
portanto
é contínua em
.
Comentário didático rápido: a ideia foi dominar
por uma função que depende apenas da distância ao origem (
), o que garante o limite nulo. Esse tipo de estimativa por potências de
é muito útil em limites em várias variáveis.
Passo 3
Definição e cálculo das derivadas parciais em
.
Definição: a derivada parcial em
em
é
Calcule
. Substituindo
na definição,
Logo o quociente é
para
. Portanto
De modo análogo, a derivada parcial em
é
Mas
(porque
anula a expressão), então o quociente é
e
Observação pedagógica: cálculo de derivadas parciais costuma ser feito mantendo a outra variável fixa; aqui, fixar
e
simplifica muito porque o fator
zera a função.
Passo 4
Definição de diferenciabilidade e verificação em
.
Definição:
é diferenciável em
se existe uma aplicação linear
tal que, chamando
,
Quando as derivadas parciais existem e são contínuas numa vizinhança,
é o produto escalar com o gradiente. Mesmo sem continuidade das parciais, se
satisfaz o critério
então é diferenciável.
Aqui já calculamos
. Assim
. Precisamos verificar que
Usamos a estimativa do Passo 2: para
quaisquer
onde
. Portanto
Logo
e
é diferenciável em
. O diferencial (matriz Jacobiana) em
é a linha
, ou seja o mapa linear nulo.
Comentário: a estimativa
é forte o suficiente para provar diferenciabilidade, porque exige que o erro seja muito menor que a distância; esse é um padrão comum: se uma função é
com
então ela é diferenciável com derivada nula.
Passo 5
Derivadas direcionais em
.
Definição: para um vetor direção
(normalizado ou não), a derivada direcional em
em
é
se esse limite existir.
Calcule para
fixo. Primeiro
Como
, temos
Dividindo por
(para
):
Quando
esse termo tende a
(porque factor
). Portanto o limite existe e é
. Assim, para toda direção
,
Conexão com diferenciabilidade: como
é diferenciável em
com
, é esperado que todas as derivadas direcionais existam e valham
; o cálculo confirma isso.
Resposta
(a)
é contínua em
.
(b) e
.
(c) é diferenciável em
(o diferencial é o mapa linear nulo).
(d) Todas as derivadas direcionais em existem e valem
.
(b)
(c)
(d) Todas as derivadas direcionais em