Questão 3 (2 pontos) - Seja a reação A B em fase líquida. Para uma reação elementar de primeira ordem, o número de Damköhler ( Da ) é dado por Da=tau k, o qual representa o nível de conversão no sistema. Considerando a reação ocorrendo em um reator CSTR e PFR, qual seria a conversão na qual a diferença entre o Da para o reator CSTR e o Da para o PFR é superior a 10 % ?

Passo 1

Vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma reação A B que ocorre na fase líquida e é de primeira ordem. O número de Damköhler ( Da) é dado por:
Da = tau k
onde:
  • tau é o tempo de residência,
  • k é a constante de taxa da reação.
A Da representa o nível de conversão no sistema. A questão nos pede para determinar a conversão ( X) na qual a diferença entre a Da para um reator CSTR (Continuously Stirred Tank Reactor) e para um reator PFR (Plug Flow Reactor) é superior a 10%. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as expressões de conversão para ambos os tipos de reatores e comparar as Da correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as expressões de conversão ( X) para reatores CSTR e PFR em reações de primeira ordem.
Para um CSTR, a conversão é dada por:
XCSTR = Da1 + Da
Já para um PFR, a conversão é:
XPFR = 1 - e^-Da
Essas fórmulas relacionam a conversão com o número de Damköhler para cada tipo de reator.

Passo 3

A próxima etapa é entender como a diferença entre as Da dos dois reatores se relaciona com a conversão. Queremos encontrar a conversão X onde:
|DaCSTR - DaPFR| > 0,1 times DaPFR
Isso significa que a diferença entre os números de Damköhler dos reatores CSTR e PFR deve ser maior que 10% do valor da Da do PFR.

Passo 4

Vamos expressar DaCSTR e DaPFR em termos de X usando as fórmulas de conversão.
Para o CSTR:
XCSTR = DaCSTR1 + DaCSTR
Isolando DaCSTR:
DaCSTR = XCSTR1 - XCSTR
Para o PFR:
XPFR = 1 - e^-DaPFR
Isolando DaPFR:
DaPFR = -ln(1 - XPFR)
Assumindo que XCSTR = XPFR = X, queremos:
| X1 - X - (-ln(1 - X)) | > 0,1 times (-ln(1 - X))

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
X1 - X + ln(1 - X) > 0,1 times (-ln(1 - X))
Rearranjando:
X1 - X > -0,1 ln(1 - X) - ln(1 - X)
X1 - X > -1,1 ln(1 - X)
Agora, precisamos resolver essa inequação para encontrar o valor de X que satisfaz a condição.

Passo 6

Essa inequação não pode ser resolvida analiticamente de forma simples, então vamos resolver numericamente. Vamos testar diferentes valores de X para encontrar onde a diferença entre DaCSTR e DaPFR ultrapassa 10%.
Vamos testar alguns valores:
  • Para X = 0,3:
    • DaCSTR = 0,31 - 0,3 = 0,30,7 approx 0,4286
    • DaPFR = -ln(1 - 0,3) = -ln(0,7) approx 0,3567
    • Diferença: 0,4286 - 0,3567 approx 0,0719
    • Percentual: 0,07190,3567 approx 20,2% > 10%
  • Para X = 0,2:
    • DaCSTR = 0,20,8 = 0,25
    • DaPFR = -ln(0,8) approx 0,2231
    • Diferença: 0,25 - 0,2231 approx 0,0269
    • Percentual: 0,02690,2231 approx 12,1% > 10%
  • Para X = 0,15:
    • DaCSTR = 0,150,85 approx 0,1765
    • DaPFR = -ln(0,85) approx 0,1625
    • Diferença: 0,1765 - 0,1625 approx 0,014
    • Percentual: 0,0140,1625 approx 8,6% < 10%
Portanto, a condição é satisfeita para X > 0,15.

Resposta

A conversão na qual a diferença entre o número de Damköhler para o reator CSTR e para o PFR é superior a 10% ocorre quando a conversão X é maior que 15%.

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