Questão 1: (2.5 pontos)
Seja S a superfície da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 localizada na porção interior do cone z=a \sqrt{x^{2}+y^{2}}, a>0.
(a) Calcule a área de S em termos de a.
(b) Calcule o limite da área de S quando a \rightarrow 0^{+}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Calcular a área da superfície S, onde S é a porção da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1
que está localizada na porção interior do cone
z = a\sqrt{x^{2}+y^{2}},\qquad a>0.
  • (b) Calcular o limite da área de S quando a \rightarrow 0^{+}.
Informações dadas e importantes para usar:
  • A esfera tem raio 1 e centro na origem.
  • O cone é descrito em termos da coordenada radial r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} por z=a r.
  • A região pedida é a parte da esfera que satisfaz z \ge a r (a “porção interior” do cone).

Passo 2

Escolha do método e preparação (spherical coords). Vou usar coordenadas esféricas porque a superfície é a esfera unitária — isso torna a parametrização e o elemento de área muito simples e a integração direta.
Definições e notação (explicando bem):
  • Em coordenadas esféricas (convenção: ângulo polar medido a partir do eixo z positivo) usamos \rho,\varphi,\theta com
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
  • Aqui a esfera unitária tem \rho=1. Então sobre a esfera z=\cos\varphi e r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sin\varphi.
  • O elemento de área na esfera de raio 1 é
dS=\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Explicação do elemento de área: ao variar \varphi por d\varphi movemo-nos uma distância aproximadamente d\varphi ao longo de um meridiano; ao variar \theta por d\theta movemo-nos ao longo de um paralelo de comprimento aproximado \sin\varphi\,d\theta. O produto desses comprimentos dá a área aproximada do retângulo na superfície, daí dS=\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Encontrar o ângulo limite \varphi_{0} que define a interseção esfera–cone e qual é o intervalo de integração.
A fronteira entre a esfera e o cone satisfaz simultaneamente \rho=1 e z=a r. Em coordenadas esféricas isso é
\cos\varphi = a\sin\varphi.
Isolando \varphi obtemos
\tan\varphi = \frac{1}{a}.
Defino \varphi_{0} como o ângulo onde ocorre a interseção:
\varphi_{0}=\arctan\!\left(\frac{1}{a}\right).
A porção interior do cone corresponde aos pontos com z maior, isto é aos pontos com \varphi entre 0 (polo norte) e \varphi_{0}. Assim o domínio de integração é
0\le\theta\le 2\pi,\qquad 0\le\varphi\le\varphi_{0}.

Passo 4

Montar a integral para a área usando o elemento de área e integrar.
A área A(a) de S é
A(a)=\iint_{S} dS =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\varphi_{0}} \sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Faço a integral em \theta primeiro (é trivial porque integrando d\theta de 0 a 2\pi 2\pi):
A(a)=2\pi\int_{0}^{\varphi_{0}} \sin\varphi\,d\varphi.
Integro \sin\varphi:
\int_{0}^{\varphi_{0}} \sin\varphi\,d\varphi = \bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\varphi_{0}} = 1-\cos\varphi_{0}.
Portanto
A(a)=2\pi\bigl(1-\cos\varphi_{0}\bigr).

Passo 5

Expressar \cos\varphi_{0} em termos de a para obter a resposta em função de a.
Sabemos de antes que \tan\varphi_{0} = \dfrac{1}{a}. Uso a identidade
\cos\varphi_{0}=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^{2}\varphi_{0}}}.
Substituindo \tan\varphi_{0}=\dfrac{1}{a} vem
\cos\varphi_{0}=\frac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{a^{2}}}} =\frac{1}{\sqrt{\dfrac{a^{2}+1}{a^{2}}}} =\frac{a}{\sqrt{1+a^{2}}}.
Logo a área é
A(a)=2\pi\left(1-\frac{a}{\sqrt{1+a^{2}}}\right).

Passo 6

Calcular o limite quando a\to 0^{+}.
Analiso a expressão encontrada:
A(a)=2\pi\left(1-\frac{a}{\sqrt{1+a^{2}}}\right).
Quando a\to 0^{+} temos \dfrac{a}{\sqrt{1+a^{2}}}\to 0. Portanto
\lim_{a\to 0^{+}} A(a)=2\pi(1-0)=2\pi.
Interpretação rápida (pra te animar): quando a tende a zero o cone fica cada vez “mais fechado” e a porção interior do cone aproxima-se da meia-esfera superior, cuja área é 2\pi.

Resposta

A(a)=2\pi\displaystyle\left(1-\frac{a}{\sqrt{1+a^{2}}}\right)\n \displaystyle\lim_{a\to 0^{+}}A(a)=2\pi

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