Questão 1: (2.5 pontos)
Seja
a superfície da esfera
localizada na porção interior do cone
.
(a) Calcule a área de
em termos de
.
(b) Calcule o limite da área de
quando
Seja
(a) Calcule a área de
(b) Calcule o limite da área de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Calcular a área da superfície
, onde é a porção da esfera
que está localizada na porção interior do cone
- (b) Calcular o limite da área de
quando .
Informações dadas e importantes para usar:
- A esfera tem raio
e centro na origem. - O cone é descrito em termos da coordenada radial
por . - A região pedida é a parte da esfera que satisfaz
(a “porção interior” do cone).
Passo 2
Escolha do método e preparação (spherical coords). Vou usar coordenadas esféricas porque a superfície é a esfera unitária — isso torna a parametrização e o elemento de área muito simples e a integração direta.
Definições e notação (explicando bem):
- Em coordenadas esféricas (convenção: ângulo polar medido a partir do eixo
positivo) usamos com
- Aqui a esfera unitária tem
. Então sobre a esfera e . - O elemento de área na esfera de raio
é
Explicação do elemento de área: ao variar
por
movemo-nos uma distância aproximadamente
ao longo de um meridiano; ao variar
por
movemo-nos ao longo de um paralelo de comprimento aproximado
. O produto desses comprimentos dá a área aproximada do retângulo na superfície, daí
.
Passo 3
Encontrar o ângulo limite
que define a interseção esfera–cone e qual é o intervalo de integração.
A fronteira entre a esfera e o cone satisfaz simultaneamente
e
. Em coordenadas esféricas isso é
Isolando
obtemos
Defino
como o ângulo onde ocorre a interseção:
A porção interior do cone corresponde aos pontos com
maior, isto é aos pontos com
entre
(polo norte) e
. Assim o domínio de integração é
Passo 4
Montar a integral para a área usando o elemento de área e integrar.
A área
de
é
Faço a integral em
primeiro (é trivial porque integrando
de
a
dá
):
Integro
:
Portanto
Passo 5
Expressar
em termos de
para obter a resposta em função de
.
Sabemos de antes que
. Uso a identidade
Substituindo
vem
Logo a área é
Passo 6
Calcular o limite quando
.
Analiso a expressão encontrada:
Quando
temos
. Portanto
Interpretação rápida (pra te animar): quando
tende a zero o cone fica cada vez “mais fechado” e a porção interior do cone aproxima-se da meia-esfera superior, cuja área é
.