Determine f(0) de modo que as seguintes funções sejam contínuas em x=0 :
f(x)=x \operatorname{cotg}(x).

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=x\operatorname{cotg}(x) para x\neq0 e pede para determinar f(0) de modo que f seja contínua em x=0. Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A expressão para f(x) quando x\neq0 é x\operatorname{cotg}(x).
  • Sabemos que \operatorname{cotg}(x)=\dfrac{\cos x}{\sin x} sempre que \sin x\neq0.
  • A continuidade em x=0 exige que o valor \,f(0)\, seja igual ao limite \lim_{x\to0}f(x).
    Não se resolve nada aqui — só organizei o que está dado e o que é pedido.

Passo 2

Definição prática de continuidade que vamos usar: a função f é contínua em x=0 se, e somente se,
\lim_{x\to0} f(x)=f(0).
Logo, para escolher f(0) devemos calcular \lim_{x\to0} x\operatorname{cotg}(x) e igualar f(0) a esse limite.

Passo 3

Reescrevo f(x) em forma mais conveniente usando \operatorname{cotg}(x)=\dfrac{\cos x}{\sin x}. Assim, para x\neq0,
f(x)=x\operatorname{cotg}(x)=x\cdot\frac{\cos x}{\sin x}=\cos x\cdot\frac{x}{\sin x}.
Essa expressão é útil porque separa um fator \cos x (que tem limite conhecido) e o quociente \dfrac{x}{\sin x} (também com limite conhecido).

Passo 4

Lembrança de um limite clássico e sua justificativa curta: sabemos que
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.
Uma justificativa simples usa desigualdades trigonométricas (válidas para 0<x<\tfrac{\pi}{2}):
\cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1,
e como \lim_{x\to0}\cos x=1, pelo teorema do confronto (squeeze) obtemos o limite igual a 1. Para x negativos a mesma conclusão vale por simetria. A partir disso segue imediatamente que
\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin x}=1
porque é o recíproco (próximo de 0 o quociente \sin x/x é próximo de 1 e não é zero).

Passo 5

Agora uso propriedades de limite: como \lim_{x\to0}\cos x=1 e \lim_{x\to0}\dfrac{x}{\sin x}=1, o produto dos limites é o limite do produto (quando os limites existem finitos). Portanto,
\lim_{x\to0} f(x)=\lim_{x\to0}\left(\cos x\cdot\frac{x}{\sin x}\right)=\left(\lim_{x\to0}\cos x\right)\cdot\left(\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin x}\right)=1\cdot1=1.

Passo 6

Concluo que, para f ser contínua em x=0, devemos definir
f(0)=\lim_{x\to0}f(x)=1.
Assim o valor em 0 coincide com o limite, garantindo continuidade em 0.

Resposta

1

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