Determine
de modo que as seguintes funções sejam contínuas em
:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
para
e pede para determinar
de modo que
seja contínua em
. Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A expressão para
quando é . - Sabemos que
sempre que . - A continuidade em
exige que o valor seja igual ao limite .
Não se resolve nada aqui — só organizei o que está dado e o que é pedido.
Passo 2
Definição prática de continuidade que vamos usar: a função
é contínua em
se, e somente se,
Logo, para escolher
devemos calcular
e igualar
a esse limite.
Passo 3
Reescrevo
em forma mais conveniente usando
. Assim, para
,
Essa expressão é útil porque separa um fator
(que tem limite conhecido) e o quociente
(também com limite conhecido).
Passo 4
Lembrança de um limite clássico e sua justificativa curta: sabemos que
Uma justificativa simples usa desigualdades trigonométricas (válidas para
):
e como
, pelo teorema do confronto (squeeze) obtemos o limite igual a
. Para
negativos a mesma conclusão vale por simetria. A partir disso segue imediatamente que
porque é o recíproco (próximo de
o quociente
é próximo de
e não é zero).
Passo 5
Agora uso propriedades de limite: como
e
, o produto dos limites é o limite do produto (quando os limites existem finitos). Portanto,
Passo 6
Concluo que, para
ser contínua em
, devemos definir
Assim o valor em
coincide com o limite, garantindo continuidade em
.
Resposta
1