Questão 2: ( 4 pontos)Suponha que o comportamento conjunto de (X, Y) seja dado pela seguinte função distribuição acumulada conjunta:
F(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x}{x+1}\left[1-e^{-y}-y e^{-y}\right] & \text { se } x>0, y>0 \\\\ 0 & \text { caso contrario } \end{array}\right.
Encontre a FDA marginais de X e de Y

Passo 1

O enunciado nos dá a função distribuição acumulada conjunta F(x,y)=P(X\le x,\,Y\le y) definida por
F(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} \displaystyle \frac{x}{x+1}\bigl[1-e^{-y}-y e^{-y}\bigr] & \text{se } x>0,\\ y>0,\\[6pt] 0 & \text{caso contrário.} \end{array}\right.á
O que o problema pede: encontrar as funções de distribuição acumulada marginais de X e de Y, isto é:
  • F_X(x)=P(X\le x) para todo x\in\mathbb{R};
  • F_Y(y)=P(Y\le y) para todo y\in\mathbb{R}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão fechada de F(x,y) válida quando x>0 e y>0.
  • Para qualquer par (x,y) que não satisfaça x>0 e y>0, tem-se F(x,y)=0.]

Passo 2

Definição e estratégia para obter as marginais (passo didático):
  • A função distribuição acumulada marginal de X é obtida pela probabilidade acumulada sobre X independentemente de Y. Em termos de F conjunta, usa-se o limite
F_X(x)=\lim_{y\to\infty}F(x,y)=P(X\le x).
A ideia é que, ao levar y a +\infty, a condição Y\le y fica sempre satisfeita e sobra apenas P(X\le x).
  • De forma análoga, a marginal de Y é
F_Y(y)=\lim_{x\to\infty}F(x,y)=P(Y\le y).
Portanto vamos calcular essas duas limites, tomando cuidado com os casos x\le 0 e y\le 0, onde a função conjunta já vale 0.

Passo 3

Cálculo de F_X(x) para x>0.
Para x>0 a expressão de F(x,y) é
F(x,y)=\frac{x}{x+1}\bigl[1-e^{-y}-y e^{-y}\bigr].
Tomamos o limite quando y\to\infty:
primeiro observe os termos dentro dos colchetes:
\lim_{y\to\infty} e^{-y}=0, \qquad \lim_{y\to\infty} y e^{-y}=0.
(A segunda limite pode ser justificada usando L’Hôpital: \displaystyle \lim_{y\to\infty} y e^{-y}=\lim_{y\to\infty}\dfrac{y}{e^{y}}. Aplicando L’Hôpital, obtém-se \lim_{y\to\infty}\dfrac{1}{e^{y}}=0.)
Portanto
\lim_{y\to\infty}\bigl[1-e^{-y}-y e^{-y}\bigr]=1.
Assim, para x>0,
F_X(x)=\lim_{y\to\infty}F(x,y)=\frac{x}{x+1}\cdot 1=\frac{x}{x+1}.

Passo 4

Valor de F_X(x) para x\le 0 e conclusão para F_X.
Se x\le 0, então para todo y a definição do enunciado coloca F(x,y)=0 (pois cai no caso “caso contrário”). Assim
F_X(x)=\lim_{y\to\infty}F(x,y)=0\quad\text{para }x\le 0.
Portanto a FDA marginal de X é
F_X(x)=\left\{\begin{array}{cc} 0 & \text{se } x\le 0,\\[4pt] \displaystyle \frac{x}{x+1} & \text{se } x>0. \end{array}\right.]

Passo 5

Cálculo de F_Y(y) para y>0.
Para y>0 a expressão é a mesma dada do enunciado quando x>0 também; para obter F_Y(y)=\lim_{x\to\infty}F(x,y) usamos
F(x,y)=\frac{x}{x+1}\bigl[1-e^{-y}-y e^{-y}\bigr].
Tomando x\to\infty,
\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x+1}=1,
porque dividindo numerador e denominador por x obtém-se \dfrac{1}{1+1/x}\to 1.
Assim, para y>0,
F_Y(y)=\lim_{x\to\infty}F(x,y)=1\cdot\bigl[1-e^{-y}-y e^{-y}\bigr]=1-e^{-y}-y e^{-y}.

Passo 6

Valor de F_Y(y) para y\le 0 e conclusão para F_Y.
Se y\le 0, então para todo x a definição do enunciado dá F(x,y)=0 (cai em “caso contrário”), logo
F_Y(y)=\lim_{x\to\infty}F(x,y)=0\quad\text{para }y\le 0.
Portanto a FDA marginal de Y é
F_Y(y)=\left\{\begin{array}{cc} 0 & \text{se } y\le 0,\\[4pt] \displaystyle 1-e^{-y}-y e^{-y} & \text{se } y>0. \end{array}\right.]

Resposta

F_X(x)=\begin{cases}0 & \text{se } x\le 0,\\[4pt]\dfrac{x}{x+1} & \text{se } x>0,\end{cases}
F_Y(y)=\begin{cases}0 & \text{se } y\le 0,\\[4pt]1-e^{-y}-y e^{-y} & \text{se } y>0.\end{cases}]

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