O que o problema pede: encontrar as funções de distribuição acumulada marginais de X e de Y, isto é:
F_X(x)=P(X\le x) para todo x\in\mathbb{R};
F_Y(y)=P(Y\le y) para todo y\in\mathbb{R}.
Informações relevantes dadas:
A expressão fechada de F(x,y) válida quando x>0 e y>0.
Para qualquer par (x,y) que não satisfaça x>0 e y>0, tem-se F(x,y)=0.]
Passo 2
Definição e estratégia para obter as marginais (passo didático):
A função distribuição acumulada marginal de X é obtida pela probabilidade acumulada sobre X independentemente de Y. Em termos de F conjunta, usa-se o limite
F_X(x)=\lim_{y\to\infty}F(x,y)=P(X\le x).
A ideia é que, ao levar y a +\infty, a condição Y\le y fica sempre satisfeita e sobra apenas P(X\le x).
De forma análoga, a marginal de Y é
F_Y(y)=\lim_{x\to\infty}F(x,y)=P(Y\le y).
Portanto vamos calcular essas duas limites, tomando cuidado com os casos x\le 0 e y\le 0, onde a função conjunta já vale 0.
Tomamos o limite quando y\to\infty:
primeiro observe os termos dentro dos colchetes:
\lim_{y\to\infty} e^{-y}=0, \qquad \lim_{y\to\infty} y e^{-y}=0.
(A segunda limite pode ser justificada usando L’Hôpital: \displaystyle \lim_{y\to\infty} y e^{-y}=\lim_{y\to\infty}\dfrac{y}{e^{y}}. Aplicando L’Hôpital, obtém-se \lim_{y\to\infty}\dfrac{1}{e^{y}}=0.)
Portanto