Questão 1:Suponha que o comportamento conjunto de (X, Y) seja dado pela seguinte função:
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} k(x+y) \exp \{-(x+y)\} & \text { se } x \geq 0, y \geq 0 \\\\ 0 & \text { caso contrario } \end{array}\right.
onde k é uma constante positiva.
a) ( 4 pontos)Encontre k tal forma que f(x, y) defina uma função densidade de probabilidade (fdp) conjunta para ( X, Y ).
b) ( 4 ponto) Encontre a fdp marginal de X
c) ( 4 pontos) Encontre a fdp marginal de Y
d) ( 4 pontos) Verifique se X e Y são independentes. Y
e) (4 pontos) Determine P(X<1, Y<1).
f) (4 pontos) Determine P(X+Y<1).
com k>0. As perguntas são:
(a) determinar k tal que f seja uma fdp conjunta;
(b) encontrar a fdp marginal de X;
(c) encontrar a fdp marginal de Y;
(d) verificar se X e Y são independentes;
(e) calcular P(X<1,\,Y<1);
(f) calcular P(X+Y<1).
Informações relevantes fornecidas: domínio x\ge0,\\ y\ge0 e forma funcional k(x+y)e^{-(x+y)}. A resolução começará calculando k pela condição de normalização (integral dupla da densidade = 1) e depois usará integrais iteradas para marginais e probabilidades.]
Passo 2
Condição de normalização: a integral dupla de f sobre todo o plano deve ser 1. Escrevendo a integral sobre o primeiro quadrante,
1=\iint_{x\ge0,y\ge0} k(x+y)e^{-(x+y)}\,dy\,dx.
Para facilitar a conta, observe que a função g(x,y)=(x+y)e^{-(x+y)} é simétrica em x e y. Podemos separar como soma:
1 = k \cdot 2 \quad\Rightarrow\quad k=\frac{1}{2}.
Comentário rápido: fizemos a conta explorando simetria para evitar integrais duplas mais pesadas — isso é comum e seguro quando a integranda é simétrica em x e y.
Passo 5
Agora vamos obter a densidade marginal de X. Definição: a fdp marginal de X é
f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dy.
No nosso caso a integral não nula é só para y\ge0 e x\ge0. Então para x<0 temos f_X(x)=0. Para x\ge0,
Faça a mudança de variáveis natural para somas: defina \displaystyle u=x+y,\\ v=x. O Jacobiano absoluto dessa transformação é 1 (transformação linear com determinante 1). Na região R temos 0\le u\le 1 e, para cada u, 0\le v\le u. A integranda depende só de u, ficando