Questão 1:Suponha que o comportamento conjunto de (X, Y) seja dado pela seguinte função:
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} k(x+y) \exp \{-(x+y)\} & \text { se } x \geq 0, y \geq 0 \\\\ 0 & \text { caso contrario } \end{array}\right.
onde k é uma constante positiva.
a) ( 4 pontos)Encontre k tal forma que f(x, y) defina uma função densidade de probabilidade (fdp) conjunta para ( X, Y ).
b) ( 4 ponto) Encontre a fdp marginal de X
c) ( 4 pontos) Encontre a fdp marginal de Y
d) ( 4 pontos) Verifique se X e Y são independentes. Y
e) (4 pontos) Determine P(X<1, Y<1).
f) (4 pontos) Determine P(X+Y<1).

Passo 1

O enunciado nos dá a função conjunta de densidade
f(x,y)=\begin{cases} k(x+y)\exp\{-(x+y)\}, & x\ge 0,\\ y\ge 0,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário}, \end{cases}á
com k>0. As perguntas são:
(a) determinar k tal que f seja uma fdp conjunta;
(b) encontrar a fdp marginal de X;
(c) encontrar a fdp marginal de Y;
(d) verificar se X e Y são independentes;
(e) calcular P(X<1,\,Y<1);
(f) calcular P(X+Y<1).
Informações relevantes fornecidas: domínio x\ge0,\\ y\ge0 e forma funcional k(x+y)e^{-(x+y)}. A resolução começará calculando k pela condição de normalização (integral dupla da densidade = 1) e depois usará integrais iteradas para marginais e probabilidades.]

Passo 2

Condição de normalização: a integral dupla de f sobre todo o plano deve ser 1. Escrevendo a integral sobre o primeiro quadrante,
1=\iint_{x\ge0,y\ge0} k(x+y)e^{-(x+y)}\,dy\,dx.
Para facilitar a conta, observe que a função g(x,y)=(x+y)e^{-(x+y)} é simétrica em x e y. Podemos separar como soma:
\iint_{0}^{\infty}\!\!\int_{0}^{\infty}(x+y)e^{-(x+y)}\,dy\,dx = \iint_{0}^{\infty}\!\!\int_{0}^{\infty}x e^{-(x+y)}\,dy\,dx + \iint_{0}^{\infty}\!\!\int_{0}^{\infty}y e^{-(x+y)}\,dy\,dx.
Pela simetria os dois termos são iguais, logo a integral total é o dobro de um deles:
\iint_{0}^{\infty}\!\!\int_{0}^{\infty}(x+y)e^{-(x+y)}\,dy\,dx =2\iint_{0}^{\infty}\!\!\int_{0}^{\infty}x e^{-(x+y)}\,dy\,dx.

Passo 3

Calcular \iint_{0}^{\infty} x e^{-(x+y)}\,dy\,dx como integral iterada (usar Fubini): primeiro integramos em y,
\iint_{0}^{\infty} x e^{-(x+y)}\,dy\,dx = \int_{0}^{\infty} \Big( x e^{-x}\int_{0}^{\infty} e^{-y}\,dy \Big)\,dx.
Sabendo que \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-y}\,dy = 1, isso reduz a
\int_{0}^{\infty} x e^{-x}\,dx.
Essa integral é conhecida (é a expectativa de uma exponencial de parâmetro 1): por integração por partes ou tabela,
\int_{0}^{\infty} x e^{-x}\,dx = 1.
Portanto
\iint_{0}^{\infty}(x+y)e^{-(x+y)}\,dy\,dx = 2\cdot 1 = 2.

Passo 4

Voltando à normalização com o fator k,
1 = k \cdot 2 \quad\Rightarrow\quad k=\frac{1}{2}.
Comentário rápido: fizemos a conta explorando simetria para evitar integrais duplas mais pesadas — isso é comum e seguro quando a integranda é simétrica em x e y.

Passo 5

Agora vamos obter a densidade marginal de X. Definição: a fdp marginal de X é
f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dy.
No nosso caso a integral não nula é só para y\ge0 e x\ge0. Então para x<0 temos f_X(x)=0. Para x\ge0,
f_X(x)=\int_{0}^{\infty} \frac{1}{2}(x+y)e^{-(x+y)}\,dy.
Colocando e^{-x} em evidência:
f_X(x)=\frac{1}{2}e^{-x}\int_{0}^{\infty}(x+y)e^{-y}\,dy = \frac{1}{2}e^{-x}\Big( x\int_{0}^{\infty}e^{-y}\,dy + \int_{0}^{\infty} y e^{-y}\,dy\Big).
Sabendo que \int_{0}^{\infty} e^{-y}\,dy = 1 e \int_{0}^{\infty} y e^{-y}\,dy = 1, obtemos
f_X(x)=\frac{1}{2}e^{-x}(x+1),\qquad x\ge0,
e f_X(x)=0 para x<0.

Passo 6

Obtenção da fdp marginal de Y. Pelo total de simetria entre x e y, o cálculo é análogo ao de X. Assim, para y\ge0,
f_Y(y)=\int_{0}^{\infty} \frac{1}{2}(x+y)e^{-(x+y)}\,dx = \frac{1}{2}e^{-y}(y+1),
e f_Y(y)=0 para y<0.

Passo 7

Verificação de independência. Critério: X e Y são independentes se, e somente se, para todos x,y
f(x,y)=f_X(x)\,f_Y(y).
Vamos comparar as expressões. A fdp conjunta (com k=\tfrac{1}{2}) é
f(x,y)=\frac{1}{2}(x+y)e^{-(x+y)},\qquad x,y\ge0.
O produto das marginais é
f_X(x)f_Y(y)=\frac{1}{2}e^{-x}(x+1)\cdot\frac{1}{2}e^{-y}(y+1) =\frac{1}{4}(x+1)(y+1)e^{-(x+y)}.
Essas duas expressões não são idênticas para todo x,y. Um contraexemplo simples: em (x,y)=(0,0),
f(0,0)=\frac{1}{2}\cdot 0\cdot e^{0}=0, \qquad f_X(0)f_Y(0)=\frac{1}{4}\cdot 1\cdot 1\cdot e^{0}=\frac{1}{4}.
Como são diferentes, X e Y não são independentes.

Passo 8

Calcular P(X<1,\,Y<1). Isso é a integral dupla sobre o quadrado [0,1]\times[0,1]:
P(X<1,\,Y<1)=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{1}{2}(x+y)e^{-(x+y)}\,dy\,dx.
Separe em duas partes e use simetria:
P=\frac{1}{2}\Big(\iint x e^{-(x+y)} + \iint y e^{-(x+y)}\Big) = \iint_{[0,1]^2} x e^{-(x+y)}\,dy\,dx,
pois os dois termos são iguais. Assim
P=\int_{0}^{1}\!\Big(x e^{-x}\int_{0}^{1} e^{-y}\,dy\Big)\,dx =(1-e^{-1})\int_{0}^{1} x e^{-x}\,dx.
Calculamos \displaystyle\int_{0}^{1} x e^{-x}\,dx por integração por partes: \int x e^{-x}dx=-(x+1)e^{-x}+C. Avaliando de 0 a 1
\int_{0}^{1} x e^{-x}\,dx = 1-2e^{-1}.
Portanto
P(X<1,\,Y<1)=(1-e^{-1})(1-2e^{-1}).

Passo 9

Calcular P(X+Y<1). Montamos a integral sobre a região triangular R=\{(x,y): x\ge0,\\ y\ge0,\\ x+y<1\}:
P(X+Y<1)=\iint_{R} \frac{1}{2}(x+y)e^{-(x+y)}\,dy\,dx.
Faça a mudança de variáveis natural para somas: defina \displaystyle u=x+y,\\ v=x. O Jacobiano absoluto dessa transformação é 1 (transformação linear com determinante 1). Na região R temos 0\le u\le 1 e, para cada u, 0\le v\le u. A integranda depende só de u, ficando
P(X+Y<1)=\int_{u=0}^{1}\int_{v=0}^{u} \frac{1}{2} u e^{-u}\,dv\,du =\int_{0}^{1} \frac{1}{2}u e^{-u}\cdot (u)\,du =\frac{1}{2}\int_{0}^{1} u^{2} e^{-u}\,du.
Agora calculamos \displaystyle\int_{0}^{1} u^{2} e^{-u}\,du. Por integração por partes (duas vezes) obtém-se a forma fechada
\int_{0}^{1} u^{2} e^{-u}\,du = 2-5e^{-1}.
Portanto
P(X+Y<1)=\frac{1}{2}\big(2-5e^{-1}\big)=1-\frac{5}{2}e^{-1}.
Checando numericamente (apenas para confirmar): e^{-1}\approx 0{,}3679 P(X+Y<1)\approx 0{,}0802, que é positivo e razoável.

Resposta

(a) [k=\dfrac{1}{2})
(b) (f_X(x)= \begin{cases}\dfrac{1}{2}(x+1)e^{-x}, & x\ge 0,\\[4pt]0,& x<0,\end{cases}]
(c) f_Y(y)=\begin{cases}\dfrac{1}{2}(y+1)e^{-y}, & y\ge 0,\\[4pt]0,& y<0,\end{cases}
(d) X e Y não são independentes)
(e) P(X<1,\,Y<1)=(1-e^{-1})(1-2e^{-1})
(f) P(X+Y<1)=1-\dfrac{5}{2}e^{-1}]

Exercícios relacionados