Questão 1 (2,0 pontos):
Uma viga de comprimento
é transportada por três homens, João, Pedro e José. João encontra-se na extremidade
da viga, apoiando metade da carga da mesma, de intensidade
. Pedro e José apoiam a viga entre eles numa barra transversal, de massa desprezível, posicionada de tal forma que Pedro sustenta uma carga
. O restante da carga,
, é sustentada por José.
Determine a distância de
que se encontra a barra de apoio.
Uma viga de comprimento
Determine a distância de
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma viga de comprimento $ L $ que está sendo sustentada por três homens: João, Pedro e José. João está na extremidade $ A $ e suporta metade da carga total $ P $. Pedro e José ficam numa barra no meio da viga e juntos sustentam o restante da carga. Nossa missão aqui é descobrir a distância da barra de apoio até o ponto $ A $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equilíbrio de forças e momentos na estática, que nos ajudam a entender como as cargas estão distribuídas na viga.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na viga. Temos a carga total $ P $, que é dividida da seguinte forma:
- João suporta $ \frac{1}{2}P $.
- Pedro suporta $ \frac{2}{3} \times \frac{P}{2} = \frac{1}{3}P $.
- José suporta $ \frac{1}{3} \times \frac{P}{2} = \frac{1}{6}P $.
Agora, vamos verificar se a soma dessas forças dá a carga total $ P $:
Tudo certo até aqui!
Passo 3
Para encontrar a distância da barra de apoio até o ponto $ A $, vamos usar o princípio do equilíbrio de momentos. O momento é uma medida de quanto uma força tende a girar a viga em torno de um ponto.
Vamos considerar o ponto $ A $ como nosso ponto de referência. Então, a soma dos momentos em torno de $ A $ deve ser igual a zero para que a viga esteja em equilíbrio.
Passo 4
Vamos calcular os momentos gerados por cada força em relação ao ponto $ A $:
- O João está em $ A $, então o seu momento é zero porque a distância é zero.
- A força de Pedro é $ \frac{1}{3}P $ e está a uma distância $ d $ da barra de apoio.
- A força de José é $ \frac{1}{6}P $ e também está a uma distância $ d $ da barra de apoio.
Mas precisamos lembrar que as forças de Pedro e José estão na barra de apoio, que está a uma distância $ x $ de $ A $. Então, a distância total de Pedro e José em relação a $ A $ é $ x $.
Passo 5
Agora, aplicamos o equilíbrio de momentos:
Considerando que o sentido anti-horário é positivo, temos:
Simplificando:
Mas isso não faz sentido, então precisamos revisar.
Passo 6
Peço desculpas pelo erro! Vamos reavaliar os momentos.
João está em $ A $, sustentando $ \frac{1}{2}P $, mas como está no ponto de rotação, o momento é zero.
A barra de apoio está a uma distância $ x $ de $ A $, e a carga total na barra é $ \frac{1}{3}P + \frac{1}{6}P = \frac{1}{2}P $.
Portanto, o momento causado pela carga na barra é:
E esse momento deve equilibrar a carga que está no outro extremo da viga.
Passo 7
A viga tem comprimento total $ L $. A carga suportada por João está na extremidade, então a distância do João até o outro extremo é $ L $.
Para que os momentos estejam equilibrados:
Cancelando $ \frac{1}{2}P $ dos dois lados:
Resposta
A distância da barra de apoio até o ponto $ A $ é igual ao comprimento total da viga, ou seja, $ x = L $.