Considere os pontos
. Encontre o ponto
na reta
tal que o triângulo
tenha área 8.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois pontos $ A = (2, -1) $ e $ B = (3, 5) $. Queremos encontrar um terceiro ponto $ C $ que está em uma reta específica, $ r: 2x - 3y = 0 $, de modo que o triângulo formado pelos pontos $ A $, $ B $ e $ C $ tenha uma área de 8 unidades quadradas.
Matéria envolvida: Geometria analítica, especificamente a fórmula da área de um triângulo no plano cartesiano.
O que vamos precisar:
- Conhecer a fórmula da área de um triângulo dado três pontos no plano.
- Saber manipular equações de reta para expressar uma variável em termos da outra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a área de um triângulo cujos vértices são pontos $ A(x_A, y_A) $, $ B(x_B, y_B) $ e $ C(x_C, y_C) $:
Essa fórmula nos dá a área absoluta do triângulo formado por esses três pontos.
Passo 3
Agora, sabemos que o ponto $ C $ está na reta $ r: 2x - 3y = 0 $. Vamos reescrever essa equação para expressar $ y $ em termos de $ x $:
Isso significa que as coordenadas de $ C $ podem ser escritas como $ C = (x, \frac{2}{3}x) $, onde $ x $ é a variável que vamos determinar.
Passo 4
Substituindo as coordenadas dos pontos $ A $, $ B $ e $ C $ na fórmula da área, temos:
Aqui, colocamos a área igual a 8 e substituímos $ y_C $ por $ \frac{2}{3}x $ na fórmula.
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
Somando tudo:
Vamos combinar os termos com $ x $:
Passo 6
Agora, a equação da área fica:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
Passo 7
Vamos resolver a equação com o valor absoluto. Isso significa que:
Vamos resolver cada caso separadamente.
Primeiro caso:
Segundo caso:
Passo 8
Agora que temos os valores de $ x $, vamos encontrar os correspondentes valores de $ y $ usando a equação da reta $ r $:
Para $ x = -\frac{9}{16} $:
Para $ x = \frac{87}{16} $:
Resposta
Os pontos $ C $ que satisfazem as condições da questão são: