Considere os pontos A=(2,-1), B=(3,5). Encontre o ponto C na reta r: 2 x-3 y=0 tal que o triângulo A B C tenha área 8.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois pontos $ A = (2, -1) $ e $ B = (3, 5) $. Queremos encontrar um terceiro ponto $ C $ que está em uma reta específica, $ r: 2x - 3y = 0 $, de modo que o triângulo formado pelos pontos $ A $, $ B $ e $ C $ tenha uma área de 8 unidades quadradas.
Matéria envolvida: Geometria analítica, especificamente a fórmula da área de um triângulo no plano cartesiano.
O que vamos precisar:
  • Conhecer a fórmula da área de um triângulo dado três pontos no plano.
  • Saber manipular equações de reta para expressar uma variável em termos da outra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a área de um triângulo cujos vértices são pontos $ A(x_A, y_A) $, $ B(x_B, y_B) $ e $ C(x_C, y_C) $:
A(xA, yA) Á
Essa fórmula nos dá a área absoluta do triângulo formado por esses três pontos.

Passo 3

Agora, sabemos que o ponto $ C $ está na reta $ r: 2x - 3y = 0 $. Vamos reescrever essa equação para expressar $ y $ em termos de $ x $:
C
Isso significa que as coordenadas de $ C $ podem ser escritas como $ C = (x, \frac{2}{3}x) $, onde $ x $ é a variável que vamos determinar.

Passo 4

Substituindo as coordenadas dos pontos $ A $, $ B $ e $ C $ na fórmula da área, temos:
A
Aqui, colocamos a área igual a 8 e substituímos $ y_C $ por $ \frac{2}{3}x $ na fórmula.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
2(5 - 23x) = 10 - 43x 3(23x + 1) = 2x + 3 x(-1 - 5) = -6x
Somando tudo:
10 - 43x + 2x + 3 - 6x = 13 - 43x + 2x - 6x
Vamos combinar os termos com $ x $:
x

Passo 6

Agora, a equação da área fica:
8 = 12 | 13 - 16x3 |
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
16 = | 13 - 16x3 |

Passo 7

Vamos resolver a equação com o valor absoluto. Isso significa que:
13 - 16x3 = 16 ou 13 - 16x3 = -16
Vamos resolver cada caso separadamente.
Primeiro caso:
13 - 16x3 = 16 Rightarrow -16x3 = 16 - 13 Rightarrow -16x3 = 3 Rightarrow 16x = -9 Rightarrow x = -916
Segundo caso:
13 - 16x3 = -16 Rightarrow -16x3 = -16 - 13 Rightarrow -16x3 = -29 Rightarrow 16x = 87 Rightarrow x = 8716

Passo 8

Agora que temos os valores de $ x $, vamos encontrar os correspondentes valores de $ y $ usando a equação da reta $ r $:
x
Para $ x = -\frac{9}{16} $:
y
Para $ x = \frac{87}{16} $:
r

Resposta

Os pontos $ C $ que satisfazem as condições da questão são:
C

Exercícios relacionados