Questão 2

Pontuação escolhida:

Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha
\oint_{C}\left(x y^{2}\right) d x+\left(\left(2 x^{2}+3 x\right) y\right) d y
onde C é a fronteira da região delimitada pelas curvas y=0 e y=1-x^{2}, orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{C}\left(x y^{2}\right) d x+\left(\left(2 x^{2}+3 x\right) y\right) d y
onde C é a fronteira da região delimitada pelas curvas y=0 e y=1-x^{2}, orientada no sentido anti-horário.
Informações relevantes dadas:
  • A forma diferencial tem P(x,y)=x y^{2} (coeficiente de d x) e Q(x,y)=(2x^{2}+3x)y (coeficiente de d y).
  • A curva C é a fronteira da região entre y=0 (eixo x) e y=1-x^{2} (parábola voltada para baixo).
  • A orientação é anti-horária (sentido positivo).

Passo 2

O enunciado já diz: “Use o Teorema de Green”. Então vamos usá-lo. Vou explicar o Teorema de Green de forma direta e didática.
Enunciado do Teorema de Green (caso plano, sentido anti-horário): se P(x,y) e Q(x,y) têm derivadas parciais contínuas numa região simples D com fronteira C orientada positivamente (anti-horário), então
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Explicando cada coisa:
  • P(x,y) é a função que multiplica dx.
  • Q(x,y) é a função que multiplica dy.
  • \frac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x, mantendo y fixo.
  • \frac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y.
  • dA é o elemento de área no plano (podemos usar dA=dy\,dx ou dx\,dy dependendo dos limites).
Então, em vez de parametrizar C, vamos calcular a integral dupla na região D com integrando \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}.

Passo 3

Calcular \frac{\partial Q}{\partial x} e \frac{\partial P}{\partial y} passo a passo.
Temos
P(x,y)=x y^{2}.
Derivando em relação a y (tratando x como constante):
\frac{\partial P}{\partial y} = x \cdot 2y = 2xy.
Temos também
Q(x,y)=(2x^{2}+3x)y.
Derivando em relação a x (tratando y como constante): primeiro derivamos 2x^{2}+3x, que dá 4x+3, e multiplicamos por y. Logo
\frac{\partial Q}{\partial x} = (4x+3)y.

Passo 4

Formar o integrando do Teorema de Green:
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = (4x+3)y - 2xy.
Agrupando termos semelhantes em x:
(4x+3)y - 2xy = (4x-2x)y + 3y = (2x+3)y.
Portanto o integrando simplifica para (2x+3)y.

Passo 5

Descrever a região D e os limites de integração.
A região D é delimitada por y=0 e y=1-x^{2}. Os pontos de interseção dessas curvas satisfazem 1-x^{2}=0, ou seja x=\pm 1. Logo, projetando no eixo x, a região vai de x=-1 até x=1; para cada x fixo em [-1,1], y varia de 0 até 1-x^{2}.
Assim podemos escrever a integral dupla como
\iint_{D} (2x+3)y\,dA = \int_{x=-1}^{1}\int_{y=0}^{1-x^{2}} (2x+3)y \,dy\,dx.

Passo 6

Fazer a integração interna em y. Tratando x como constante:
\int_{y=0}^{1-x^{2}} (2x+3)y \,dy = (2x+3)\int_{0}^{1-x^{2}} y\,dy.
Calcule \int_{0}^{1-x^{2}} y\,dy:
\int_{0}^{1-x^{2}} y\,dy = \left[\tfrac{1}{2}y^{2}\right]_{0}^{1-x^{2}} = \tfrac{1}{2}(1-x^{2})^{2}.
Logo a integral interna vale
(2x+3)\cdot \tfrac{1}{2}(1-x^{2})^{2} = \tfrac{1}{2}(2x+3)(1-x^{2})^{2}.
Então a integral total é
\frac{1}{2}\int_{-1}^{1} (2x+3)(1-x^{2})^{2}\,dx.

Passo 7

Calcular a integral em x. Primeiro expandimos (1-x^{2})^{2}:
(1-x^{2})^{2} = 1 - 2x^{2} + x^{4}.
Multiplicando por (2x+3):
(2x+3)(1 - 2x^{2} + x^{4}) = 2x - 4x^{3} + 2x^{5} + 3 - 6x^{2} + 3x^{4}.
Organizando por potências:
= 3 + 2x - 6x^{2} - 4x^{3} + 3x^{4} + 2x^{5}.
Agora integramos de -1 a 1 e lembramos da simetria: termos com potência ímpar em x (como x, x^{3}, x^{5}) têm integral zero em [-1,1]. Assim só sobram os termos pares:
\int_{-1}^{1} (3 - 6x^{2} + 3x^{4})\,dx.
Calcule cada parcela:
\int_{-1}^{1} 3\,dx = 3\cdot (1-(-1)) = 3\cdot 2 = 6,
\int_{-1}^{1} -6x^{2}\,dx = -6\int_{-1}^{1} x^{2}\,dx = -6\cdot \frac{2}{3} = -4,
pois \int_{-1}^{1} x^{2}\,dx = \left[\tfrac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} = \tfrac{2}{3}.
E
\int_{-1}^{1} 3x^{4}\,dx = 3\int_{-1}^{1} x^{4}\,dx = 3\cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{5},
pois \int_{-1}^{1} x^{4}\,dx = \left[\tfrac{x^{5}}{5}\right]_{-1}^{1} = \tfrac{2}{5}.
Somando:
6 - 4 + \frac{6}{5} = 2 + \frac{6}{5} = \frac{10}{5} + \frac{6}{5} = \frac{16}{5}.
Lembrando do fator \tfrac{1}{2} que estava fora da integral, o resultado final é
\frac{1}{2}\cdot \frac{16}{5} = \frac{8}{5}.

Passo 8

Conclusão: pela aplicação do Teorema de Green e cálculo explícito da integral dupla, a integral de linha vale \tfrac{8}{5}.

Resposta

\tfrac{8}{5}

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