Questão 2
Pontuação escolhida:
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha
onde
é a fronteira da região delimitada pelas curvas
e
, orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é a fronteira da região delimitada pelas curvas
e
, orientada no sentido anti-horário.
Informações relevantes dadas:
- A forma diferencial tem
(coeficiente de ) e (coeficiente de ). - A curva
é a fronteira da região entre (eixo ) e (parábola voltada para baixo). - A orientação é anti-horária (sentido positivo).
Passo 2
O enunciado já diz: “Use o Teorema de Green”. Então vamos usá-lo. Vou explicar o Teorema de Green de forma direta e didática.
Enunciado do Teorema de Green (caso plano, sentido anti-horário): se
e
têm derivadas parciais contínuas numa região simples
com fronteira
orientada positivamente (anti-horário), então
Explicando cada coisa:
-
é a função que multiplica . -
é a função que multiplica . -
é a derivada parcial de em relação a , mantendo fixo. -
é a derivada parcial de em relação a . -
é o elemento de área no plano (podemos usar ou dependendo dos limites).
Então, em vez de parametrizar
, vamos calcular a integral dupla na região
com integrando
.
Passo 3
Calcular
e
passo a passo.
Temos
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Temos também
Derivando em relação a
(tratando
como constante): primeiro derivamos
, que dá
, e multiplicamos por
. Logo
Passo 4
Formar o integrando do Teorema de Green:
Agrupando termos semelhantes em
:
Portanto o integrando simplifica para
.
Passo 5
Descrever a região
e os limites de integração.
A região
é delimitada por
e
. Os pontos de interseção dessas curvas satisfazem
, ou seja
. Logo, projetando no eixo
, a região vai de
até
; para cada
fixo em
,
varia de
até
.
Assim podemos escrever a integral dupla como
Passo 6
Fazer a integração interna em
. Tratando
como constante:
Calcule
:
Logo a integral interna vale
Então a integral total é
Passo 7
Calcular a integral em
. Primeiro expandimos
:
Multiplicando por
:
Organizando por potências:
Agora integramos de
a
e lembramos da simetria: termos com potência ímpar em
(como
) têm integral zero em
. Assim só sobram os termos pares:
Calcule cada parcela:
pois
.
E
E
pois
.
Somando:
Lembrando do fator
que estava fora da integral, o resultado final é
Passo 8
Conclusão: pela aplicação do Teorema de Green e cálculo explícito da integral dupla, a integral de linha vale
.