[17 pts] Seja
, onde
e
são constantes tais que
é o chamado número de onda,
é a freqüência angular e
é a velocidade da luz. Mostre que
satisfaz
Dica: calcule cada uma das derivadas parciais separadamente usando a regra da cadeia cuidadosamente, e mostra que a identidade se verifica.
Passo 1
O enunciado dá a função
, com
e
constantes e com a relação
(onde
e
é uma constante).
O que precisa ser mostrado é que essa função satisfaz a equação
O que precisa ser mostrado é que essa função satisfaz a equação
Informações relevantes fornecidas:
-
. -
. - Queremos provar que
.
Passo 2
Entendendo derivadas parciais e a regra da cadeia (explicação didática).
- A derivada parcial
significa derivar em relação a mantendo fixo. Analogamente, é derivar em relação a mantendo fixo. - A função
é composição de uma função exterior com uma função interior . Ou seja, . - A regra da cadeia para derivadas parciais diz: se
, então
Aqui
é a derivada ordinária de
em relação a
, e
são as derivadas parciais da função interior.
Passo 3
Calcule a derivada da função exterior
.
A derivada ordinária é
A derivada ordinária é
No nosso caso
, então
Passo 4
Calcule as derivadas parciais da função interior
.
Derivando em relação a (com
fixo) obtemos
Derivando em relação a
porque
deriva para
e
é constante em relação a
.
Derivando em relação a (com
fixo) obtemos
Derivando em relação a
porque
deriva para
e
é constante em relação a
.
Passo 5
Use a regra da cadeia para obter
e
.
Aplicando as fórmulas do Passo 2 com os resultados dos Passos 3 e 4:
Aplicando as fórmulas do Passo 2 com os resultados dos Passos 3 e 4:
Passo 6
Forme a combinação
e simplifique.
Substituindo as derivadas do Passo 5:
Substituindo as derivadas do Passo 5:
Colocando
em evidência:
Passo 7
Use a relação dada
para mostrar que o fator entre parênteses é zero.
Substituindo temos
Substituindo
Portanto
Passo 8
Conclusão e comentário final (motivacional).
Mostramos passo a passo que a combinação é identicamente zero para a função dada, usando a regra da cadeia e a relação entre
,
e
. Boa! Esse tipo de conta aparece muito em ondas: funções do tipo
são soluções que se deslocam sem mudar de forma quando
e
satisfazem a relação de velocidade.
Mostramos passo a passo que a combinação