[17 pts] Seja u(x, t)=(\omega t-k x)^{4}, onde k e \omega são constantes tais que k=\omega / c é o chamado número de onda, \omega>0 é a freqüência angular e c é a velocidade da luz. Mostre que u(x, t) satisfaz
\frac{\partial u}{\partial t}+c \frac{\partial u}{\partial x}=0 . \quad \text { (equação da onda unidirecional) }çã
Dica: calcule cada uma das derivadas parciais separadamente usando a regra da cadeia cuidadosamente, e mostra que a identidade se verifica.

Passo 1

O enunciado dá a função u(x,t) = (\omega t - k x)^{4}, com k e \omega constantes e com a relação k=\omega / c (onde \omega>0 e c é uma constante).
O que precisa ser mostrado é que essa função satisfaz a equação
\frac{\partial u}{\partial t}+c \frac{\partial u}{\partial x}=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • u(x,t) = (\omega t - k x)^{4}.
  • k = \dfrac{\omega}{c}.
  • Queremos provar que \dfrac{\partial u}{\partial t}+c \dfrac{\partial u}{\partial x}=0.

Passo 2

Entendendo derivadas parciais e a regra da cadeia (explicação didática).
  • A derivada parcial \dfrac{\partial u}{\partial t} significa derivar u em relação a t mantendo x fixo. Analogamente, \dfrac{\partial u}{\partial x} é derivar em relação a x mantendo t fixo.
  • A função u é composição de uma função exterior f(s)=s^{4} com uma função interior \varphi(x,t)=\omega t - k x. Ou seja, u(x,t)=f(\varphi(x,t)).
  • A regra da cadeia para derivadas parciais diz: se u(x,t)=f(\varphi(x,t)), então
\frac{\partial u}{\partial t}=f'(\varphi(x,t))\cdot\frac{\partial \varphi}{\partial t}, \qquad \frac{\partial u}{\partial x}=f'(\varphi(x,t))\cdot\frac{\partial \varphi}{\partial x}.
Aqui f'(s) é a derivada ordinária de f em relação a s, e \dfrac{\partial \varphi}{\partial t},\dfrac{\partial \varphi}{\partial x} são as derivadas parciais da função interior.

Passo 3

Calcule a derivada da função exterior f(s)=s^{4}.
A derivada ordinária é
f'(s)=4s^{3}.
No nosso caso s=\varphi(x,t)=\omega t-k x, então
f'(\varphi(x,t))=4(\omega t-k x)^{3}.

Passo 4

Calcule as derivadas parciais da função interior \varphi(x,t)=\omega t - k x.
Derivando em relação a t (com x fixo) obtemos
\frac{\partial \varphi}{\partial t}=\omega,
porque \omega t deriva para \omega e -k x é constante em relação a t.
Derivando em relação a x (com t fixo) obtemos
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=-k,
porque -k x deriva para -k e \omega t é constante em relação a x.

Passo 5

Use a regra da cadeia para obter \dfrac{\partial u}{\partial t} e \dfrac{\partial u}{\partial x}.
Aplicando as fórmulas do Passo 2 com os resultados dos Passos 3 e 4:
\frac{\partial u}{\partial t}=f'(\varphi(x,t))\cdot\frac{\partial \varphi}{\partial t} =4(\omega t-k x)^{3}\cdot\omega.
\frac{\partial u}{\partial x}=f'(\varphi(x,t))\cdot\frac{\partial \varphi}{\partial x} =4(\omega t-k x)^{3}\cdot(-k).

Passo 6

Forme a combinação \dfrac{\partial u}{\partial t}+c\dfrac{\partial u}{\partial x} e simplifique.
Substituindo as derivadas do Passo 5:
\frac{\partial u}{\partial t}+c\frac{\partial u}{\partial x} =4(\omega t-k x)^{3}\,\omega + c\cdot 4(\omega t-k x)^{3}\,(-k).
Colocando 4(\omega t-k x)^{3} em evidência:
\frac{\partial u}{\partial t}+c\frac{\partial u}{\partial x} =4(\omega t-k x)^{3}\bigl(\omega - c k\bigr).

Passo 7

Use a relação dada k=\dfrac{\omega}{c} para mostrar que o fator entre parênteses é zero.
Substituindo k=\dfrac{\omega}{c} temos
\omega - c k = \omega - c\cdot\frac{\omega}{c} = \omega - \omega = 0.
Portanto
\frac{\partial u}{\partial t}+c\frac{\partial u}{\partial x} =4(\omega t-k x)^{3}\cdot 0 = 0.

Passo 8

Conclusão e comentário final (motivacional).
Mostramos passo a passo que a combinação \dfrac{\partial u}{\partial t}+c\dfrac{\partial u}{\partial x} é identicamente zero para a função dada, usando a regra da cadeia e a relação entre k, \omega e c. Boa! Esse tipo de conta aparece muito em ondas: funções do tipo f(\omega t - kx) são soluções que se deslocam sem mudar de forma quando k e \omega satisfazem a relação de velocidade.

Resposta

\frac{\partial u}{\partial t}+c \frac{\partial u}{\partial x}=0.

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