Questão U6) Pretende-se avaliar o nível de poluição em algumas cidades de uma determinada região. Para tanto, o pesquisador responsável pela avaliação deseja obter um modelo matemático que represente tal situação. Para a construção deste modelo, considerou-se que a taxa de poluição é afetada apenas pelo número de indústrias da
cidade. Abaixo, é mostrado o índice com os resultados obtidos pelo pesquisador para um nível de significância de 5 \%, com base nas 41 observações realizadas.
Coeficientes Valor estimado Erro padrão
Intercepto 17,616085 3,688373
Indústria 0,026889 0,005099
Estatística \mathrm{F}=27.81. p -valor =5.269 \mathrm{e}-06 \quad \mathrm{R}_{2 \text { adj }}: 0.4013
a) Assinale a alternativa ERRADA, e faça as devidas correções necessárias:
a. O intercepto é significativo para a regressão.
b. A equação de regressão para este modelo é poluição =0,027 Industria +17,616
c. A hipótese nula para \mathrm{H}_{0}: \mathrm{B}_{1}=0 falha em ser rejeitada no IC de 95 \%.
d. O p-valor do teste F da Anova será baixo uma vez que está claro que as variáveis são boas
e. preditoras do nível de poluição.
f. Se um novo IC fosse para a inclinação fosse calculado entre ( -5,65 ; 2,61 ), o teste de
g. hipóteses \mathrm{H}_{0}: \beta_{1}=0 vs H1: \beta_{1}=/ 0 iria falhar em rejeitar a hipótese nula a \alpha=0,05 e para

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados das 41 observações (logo n=41).
  • Estimativas e erros-padrão:
    • Intercepto: estimativa =17,616085, erro-padrão =3,688373.
    • Coeficiente de Indústria: estimativa =0,026889, erro-padrão =0,005099.
  • Estatísticas do ajuste:
    • Estatística F=27{,}81.
    • p-valor do F: 5{,}269\times10^{-6}.
    • \mathrm{R}^2_{\text{adj}}=0{,}4013.
  • O enunciado pede que assinalemos a alternativa ERRADA entre as frases fornecidas e corrijamos essa alternativa.

Passo 2

Entendendo o teste t para o coeficiente angular (passo-a-passo didático).
  • Objetivo do teste: verificar se a inclinação \beta_1 é zero na população, isto é H_0:\beta_1=0 \qquad\text{vs}\qquad H_1:\beta_1\neq0.
  • Estatística do teste (o t observado) é dada por t_{\text{obs}}=\frac{\hat\beta_1}{\text{SE}(\hat\beta_1)},onde \hat\beta_1 é a estimativa da inclinação e \text{SE}(\hat\beta_1) é o erro-padrão dessa estimativa.
  • Aplicando aos números dados: t_{\text{obs}}=\frac{0,026889}{0,005099}\approx 5{,}274.
  • Interpretação rápida: um |t| tão grande indica forte evidência contra H_0. Também note que, para regressão simples, F=t^2. Aqui t_{\text{obs}}^2\approx(5{,}274)^2\approx27{,}82, em acordo com F=27{,}81 fornecido (pequena diferença por arredondamento).

Passo 3

P-valor e decisão para \beta_1.
  • Graus de liberdade para o teste t são n-2. Com n=41, temos df=39.
  • Para \alpha=0{,}05 o valor crítico (bilateral) é t_{0{,}975,39}. Uma tabela/tipo-t dá aproximadamente t_{0{,}975,39}\approx 2{,}0227.
  • Comparando: |t_{\text{obs}}|=5{,}274 > 2{,}0227 → rejeita-se H_0 ao nível de 5\%.
  • O p-valor correspondente é muito pequeno (coerente com o p-valor do F, da ordem 10^{-6}), logo há evidência estatística forte de que \beta_1\neq0.

Passo 4

Construção do intervalo de confiança de 95\% para \beta_1 (passo-a-passo didático).
  • Fórmula do IC para \beta_1: \hat\beta_1 \pm t_{0{,}975,\,n-2}\times \text{SE}(\hat\beta_1).
  • Substituindo valores: \text{margem}=t_{0{,}975,39}\times 0,005099\approx 2{,}0227\times 0,005099\approx 0{,}010322.
\text{IC}_{95\%}:\;0,026889\pm 0{,}010322.
\text{IC}_{95\%}\approx(0{,}026889-0{,}010322,\;0{,}026889+0{,}010322)=(0{,}016567,\;0{,}037211).
  • Interpretação: o intervalo não contém zero, portanto, ao nível de 95\%, conclui-se que a inclinação é positiva e significativa.

Passo 5

Teste para o intercepto (passo-a-passo).
  • Estatística t para o intercepto: t_{\text{int}}=\frac{\hat\beta_0}{\text{SE}(\hat\beta_0)}=\frac{17{,}616085}{3{,}688373}\approx 4{,}777.
  • Como |t_{\text{int}}| também é bem maior que t_{0{,}975,39}\approx2{,}0227, rejeitamos H_0:\beta_0=0. Ou seja, o intercepto é significativo ao nível de 5\%.

Passo 6

Interpretação do teste F e do p-valor do modelo.
  • O teste F na ANOVA da regressão testa a hipótese conjunta de que todos os coeficientes (exceto o intercepto) são zero. Em regressão simples, é equivalente ao teste t da inclinação.
  • Um p-valor de 5{,}269\times10^{-6} é muito baixo → indica que o modelo (a variável Indústria) explica uma parte significativa da variação da poluição. Logo a frase que diz que o p-valor será baixo por as variáveis serem boas preditoras está correta (na prática, temos evidência de preditividade).

Passo 7

Sobre o intervalo hipotético (-5{,}65;\;2{,}61) para a inclinação.
  • Se um IC hipotético realmente contivesse zero (como (-5{,}65;\;2{,}61)), então, com base nesse IC, o teste bilateral H_0:\beta_1=0 vs H_1:\beta_1\neq0 falharia em rejeitar H_0 ao nível \alpha=0{,}05 (porque zero está dentro do IC).
  • Observação crítica: esse IC hipotético não é compatível com as estimativas observadas (pois não contém \hat\beta_1=0{,}026889); portanto, ele não é um IC correto para os dados reais. Mas, logicamente, se tal intervalo fosse o IC, o teste falharia em rejeitar.

Resposta

c. Correção: A hipótese nula H_0:\beta_1=0 é rejeitada ao nível de 5\%. O intervalo de confiança de 95\% para \beta_1 é aproximadamente (0{,}01657;\;0{,}03721).

Exercícios relacionados