Questão U6) Pretende-se avaliar o nível de poluição em algumas cidades de uma determinada região. Para tanto, o pesquisador responsável pela avaliação deseja obter um modelo matemático que represente tal situação. Para a construção deste modelo, considerou-se que a taxa de poluição é afetada apenas pelo número de indústrias da
cidade. Abaixo, é mostrado o índice com os resultados obtidos pelo pesquisador para um nível de significância de
, com base nas 41 observações realizadas.
Coeficientes
Valor estimado
Erro padrão
Intercepto
17,616085
3,688373
Indústria
0,026889
0,005099
Estatística
.
p -valor
a) Assinale a alternativa ERRADA, e faça as devidas correções necessárias:
a. O intercepto é significativo para a regressão.
b. A equação de regressão para este modelo é poluição
Industria
c. A hipótese nula para
falha em ser rejeitada no IC de
.
d. O p-valor do teste F da Anova será baixo uma vez que está claro que as variáveis são boas
e. preditoras do nível de poluição.
f. Se um novo IC fosse para a inclinação fosse calculado entre (
), o teste de
g. hipóteses
vs H1:
iria falhar em rejeitar a hipótese nula a
e para
cidade. Abaixo, é mostrado o índice com os resultados obtidos pelo pesquisador para um nível de significância de
| Coeficientes | Valor estimado | Erro padrão |
| Intercepto | 17,616085 | 3,688373 |
| Indústria | 0,026889 | 0,005099 |
| Estatística
|
p -valor
|
a. O intercepto é significativo para a regressão.
b. A equação de regressão para este modelo é poluição
c. A hipótese nula para
d. O p-valor do teste F da Anova será baixo uma vez que está claro que as variáveis são boas
e. preditoras do nível de poluição.
f. Se um novo IC fosse para a inclinação fosse calculado entre (
g. hipóteses
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dados das 41 observações (logo
). - Estimativas e erros-padrão:
- Intercepto: estimativa
, erro-padrão . - Coeficiente de Indústria: estimativa
, erro-padrão .
- Intercepto: estimativa
- Estatísticas do ajuste:
- Estatística
. - p-valor do
: . -
.
- Estatística
- O enunciado pede que assinalemos a alternativa ERRADA entre as frases fornecidas e corrijamos essa alternativa.
Passo 2
Entendendo o teste t para o coeficiente angular (passo-a-passo didático).
- Objetivo do teste: verificar se a inclinação
é zero na população, isto é - Estatística do teste (o t observado) é dada por
onde é a estimativa da inclinação e é o erro-padrão dessa estimativa. - Aplicando aos números dados:
- Interpretação rápida: um
tão grande indica forte evidência contra . Também note que, para regressão simples, . Aqui , em acordo com fornecido (pequena diferença por arredondamento).
Passo 3
P-valor e decisão para
.
- Graus de liberdade para o teste t são
. Com , temos . - Para
o valor crítico (bilateral) é . Uma tabela/tipo-t dá aproximadamente - Comparando:
→ rejeita-se ao nível de . - O p-valor correspondente é muito pequeno (coerente com o p-valor do
, da ordem ), logo há evidência estatística forte de que .
Passo 4
Construção do intervalo de confiança de
para
(passo-a-passo didático).
- Fórmula do IC para
: - Substituindo valores:
- Interpretação: o intervalo não contém zero, portanto, ao nível de
, conclui-se que a inclinação é positiva e significativa.
Passo 5
Teste para o intercepto (passo-a-passo).
- Estatística t para o intercepto:
- Como
também é bem maior que , rejeitamos . Ou seja, o intercepto é significativo ao nível de .
Passo 6
Interpretação do teste F e do p-valor do modelo.
- O teste
na ANOVA da regressão testa a hipótese conjunta de que todos os coeficientes (exceto o intercepto) são zero. Em regressão simples, é equivalente ao teste t da inclinação. - Um p-valor de
é muito baixo → indica que o modelo (a variável Indústria) explica uma parte significativa da variação da poluição. Logo a frase que diz que o p-valor será baixo por as variáveis serem boas preditoras está correta (na prática, temos evidência de preditividade).
Passo 7
Sobre o intervalo hipotético
para a inclinação.
- Se um IC hipotético realmente contivesse zero (como
), então, com base nesse IC, o teste bilateral vs falharia em rejeitar ao nível (porque zero está dentro do IC). - Observação crítica: esse IC hipotético não é compatível com as estimativas observadas (pois não contém
); portanto, ele não é um IC correto para os dados reais. Mas, logicamente, se tal intervalo fosse o IC, o teste falharia em rejeitar.
Resposta
c. Correção: A hipótese nula
é rejeitada ao nível de
. O intervalo de confiança de
para
é aproximadamente
.