Questão RLM8) Um artigo em Technometrics (1974, Vol. 16, pp. 523-531) dados de escapamento proveniente de uma planta de oxidação de amônia a ácido nítrico. Vinte e uma respostas diárias de escapamento (a quantidade de amônia que escapa),
, foram medidas com escoamento de ar,
, temperatura,
, e concentração de ácido,
. Considere que o modelo de regressão ajusta os dados de escapamento; considere essa como a variável de resposta.
Com base na teoria de teste de hipóteses:
(a) Avalie a significância da regressão usando
.
(b) Avalie a significância dos coeficientes do modelo de regressão. Use
.
(a) Avalie a significância da regressão usando
(b) Avalie a significância dos coeficientes do modelo de regressão. Use
Passo 1
O enunciado pede duas avaliações de hipótese sobre o modelo de regressão com resposta
e preditores
:
- (a) Avaliar a significância da regressão no nível
(teste F global). - (b) Avaliar a significância dos coeficientes do modelo no nível
(testes t individuais).
Os dados fornecidos no enunciado são (copiados tal como aparecem):
-
. -
. -
. -
.
Contagem dos elementos em cada vetor (importantíssimo):
-
tem valores. -
tem valores. -
tem valores. -
tem valores.
Observação crucial: os vetores de resposta e preditores devem ter o mesmo número de observações para ajustar um modelo de regressão. Aqui há uma inconsistência no número de observações entre
e os
's.
Passo 2
Por que isso impede a solução numérica direta?
Para ajustar o modelo de regressão linear múltipla via mínimos quadrados ordinários (MQO) é necessário montar a matriz de desenho
com uma linha por observação e o vetor resposta
com dimensão igual ao número de linhas de
. Ou seja, deve existir um único índice
tal que cada observação
esteja bem definida. Com contagens diferentes não há como formar esses pares/tripletas consistentemente; portanto não é possível calcular os coeficientes nem as estatísticas de teste numéricas sem antes corrigir os dados.
Conclusão prática imediata: não se pode avaliar numericamente (a) nem (b) com os vetores tal como foram fornecidos — seria preciso confirmar e corrigir os dados (por exemplo: remover/achar a observação extra em
ou completar os
's faltantes) para ter um mesmo
.
Passo 3
Mesmo não sendo possível calcular números com os dados inconsistentes, vou te ensinar passo a passo exatamente o que fazer na prova assim que você tiver os dados consistentes. Vou explicar cada fórmula, o que representa e como interpretar o resultado — tudo mastigadinho para você executar rapidamente.
- Montar o modelo e as matrizes
- O modelo de regressão com intercepto é
onde
são erros com
e
(hipóteses do modelo linear clássico).
- Em forma matricial, com
a matriz (coluna de 1’s para intercepto mais as 3 colunas de ), e vetor ,
- Estimadores MQO
- O estimador dos coeficientes
pelos MQO é
Explanação:
é a matriz de produto das colunas de
;
existe quando as colunas de
não são colineares (independência linear).
projeta
nas colunas de
. O resultado dá os coeficientes que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos.
- Resíduos e soma dos quadrados
- Resíduos:
. - Soma total de quadrados:
- Soma dos quadrados explicada (de regressão):
- Soma dos quadrados dos resíduos:
Relação:
.
- Teste global da regressão (parte (a))
- Hipóteses:
- Estatística F:
onde
é o número de preditores e
é o número de observações. Interpretação das componentes:
-
é a variância explicada por preditores por grau de liberdade da regressão. -
é a estimativa do (variância residual) por grau de liberdade residual. - Sob
, . Rejeitamos se (o quantil superior da distribuição F) ou se -valor .
- Testes individuais dos coeficientes (parte (b))
- A variância estimada de
é
com
.
- O erro padrão do
-ésimo coeficiente é
- Estatística t para testar
(teste bilateral) é
que, sob
, segue
(distribuição t com
graus de liberdade). Rejeita-se
se
ou se
-valor
.
- Passos práticos para calcular na prova (sequência que você segue com calculadora ou software)
- (i) Certifique-se
é mesmo e que todos vetores têm tamanho . - (ii) Calcule
e médias das colunas de . - (iii) Monte
e e resolva . - (iv) Calcule
e resíduos , depois e . - (v) Calcule
e a matriz de variância , daí os . - (vi) Calcule
e compare com ou obtenha -valor; calcule os e compare com -crit ou p-valor. - (vii) Interprete: se regressão significativa, concluímos que conjunto de preditores ajuda a explicar
; se coeficiente individual significativo, esse predictor tem efeito estatisticamente diferente de zero mantendo os outros constantes.
Passo 4
Exemplos de interpretação e valores críticos (para
, caso você precise rápido na prova):
- Para o teste F global com
, os graus de liberdade são . Com por exemplo igual a (se fosse esse o correto), teríamos df residuais e o valor crítico (consultar tabela F) — normalmente em tabela ou calculadora. Eu não forneço o número exato do quantil porque depende do correto. - Para os testes t individuais usa-se
, por exemplo com df residuais e , em tabela (novamente, consulte tabela t).
Passo 5
O que eu preciso que você faça (rápido) para que eu calcule tudo numericamente e te entregue respostas prontas para a prova:
- Confirme/corrija os dados para que haja exatamente o mesmo número
de observações em . Se houver uma observação a mais em , diga qual delas retirar (ou corrija os 's faltantes). Não invente valores — use os dados reais. - Assim que você me enviar os vetores com o mesmo tamanho
, eu executo todos os cálculos passo a passo (cálculo de , , , 's, p-valores) e te dou a conclusão para (a) e (b) no nível .
Força — isso tem solução fácil assim que os vetores ficarem coerentes; me manda os dados corrigidos que eu resolvo calculando tudo e explicando cada conta passo a passo.
Resposta
(a) Não é possível avaliar numericamente: os vetores fornecidos têm comprimentos diferentes (
tem 22 observações,
tem 21,
tem 20,
tem 21), logo não dá para ajustar o modelo nem calcular o
.
(b) Não é possível avaliar numericamente: por mesma razão, não dá para calcular os coeficientes, seus erros padrão nem os testes individuais.
(b) Não é possível avaliar numericamente: por mesma razão, não dá para calcular os coeficientes, seus erros padrão nem os testes