Questão RLM8) Um artigo em Technometrics (1974, Vol. 16, pp. 523-531) dados de escapamento proveniente de uma planta de oxidação de amônia a ácido nítrico. Vinte e uma respostas diárias de escapamento (a quantidade de amônia que escapa), y, foram medidas com escoamento de ar, x 1, temperatura, x 2, e concentração de ácido, x 3. Considere que o modelo de regressão ajusta os dados de escapamento; considere essa como a variável de resposta.
\begin{aligned} & y=7, 8, 8, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 18, 18, 19, 20, 28, 37, 37, 42,37 \\\ & x_{1}=50, 50, 50, 50, 50, 56, 58, 58, 58, 58, 58, 58, 62, 62, 62, 62, 62, 70, 75, 80, 80 \\\ & x_{2}=17, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 22, 23, 24, 24, 24, 25, 27, 27 \\\ & x_{3}=72, 79, 80, 80, 82, 82, 86, 87, 87, 87, 87, 88, 88, 89, 89, 89, 90, 91, 93, 93, 93 \end{aligned}
Com base na teoria de teste de hipóteses:
(a) Avalie a significância da regressão usando \alpha=0,10.
(b) Avalie a significância dos coeficientes do modelo de regressão. Use \alpha=0,10.

Passo 1

O enunciado pede duas avaliações de hipótese sobre o modelo de regressão com resposta y e preditores x_1,x_2,x_3:
  • (a) Avaliar a significância da regressão no nível \alpha=0,10 (teste F global).
  • (b) Avaliar a significância dos coeficientes do modelo no nível \alpha=0,10 (testes t individuais).
Os dados fornecidos no enunciado são (copiados tal como aparecem):
  • y = 7, 8, 8, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 18, 18, 19, 20, 28, 37, 37, 42, 37.
  • x_1 = 50, 50, 50, 50, 50, 56, 58, 58, 58, 58, 58, 58, 62, 62, 62, 62, 62, 70, 75, 80, 80.
  • x_2 = 17, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 22, 23, 24, 24, 24, 25, 27, 27.
  • x_3 = 72, 79, 80, 80, 82, 82, 86, 87, 87, 87, 87, 88, 88, 89, 89, 89, 90, 91, 93, 93, 93.
Contagem dos elementos em cada vetor (importantíssimo):
  • y tem 22 valores.
  • x_1 tem 21 valores.
  • x_2 tem 20 valores.
  • x_3 tem 21 valores.
Observação crucial: os vetores de resposta e preditores devem ter o mesmo número de observações para ajustar um modelo de regressão. Aqui há uma inconsistência no número de observações entre y e os x's.

Passo 2

Por que isso impede a solução numérica direta?
Para ajustar o modelo de regressão linear múltipla via mínimos quadrados ordinários (MQO) é necessário montar a matriz de desenho X com uma linha por observação e o vetor resposta y com dimensão igual ao número de linhas de X. Ou seja, deve existir um único índice i=1,\dots,n tal que cada observação (y_i,x_{1i},x_{2i},x_{3i}) esteja bem definida. Com contagens diferentes não há como formar esses pares/tripletas consistentemente; portanto não é possível calcular os coeficientes nem as estatísticas de teste numéricas sem antes corrigir os dados.
Conclusão prática imediata: não se pode avaliar numericamente (a) nem (b) com os vetores tal como foram fornecidos — seria preciso confirmar e corrigir os dados (por exemplo: remover/achar a observação extra em y ou completar os x's faltantes) para ter um mesmo n.

Passo 3

Mesmo não sendo possível calcular números com os dados inconsistentes, vou te ensinar passo a passo exatamente o que fazer na prova assim que você tiver os dados consistentes. Vou explicar cada fórmula, o que representa e como interpretar o resultado — tudo mastigadinho para você executar rapidamente.
  1. Montar o modelo e as matrizes
  • O modelo de regressão com intercepto é
y_i = \beta_0 + \beta_1 x_{1i} + \beta_2 x_{2i} + \beta_3 x_{3i} + \varepsilon_i,\quad i=1,\dots,n,
onde \varepsilon_i são erros com \mathbb{E}(\varepsilon_i)=0 e \operatorname{Var}(\varepsilon_i)=\sigma^2 (hipóteses do modelo linear clássico).
  • Em forma matricial, com X a matriz n\times 4 (coluna de 1’s para intercepto mais as 3 colunas de x), e y vetor n\times1,
\mathbf{y}=X\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\varepsilon}.
  1. Estimadores MQO
  • O estimador dos coeficientes \boldsymbol{\beta}=(\beta_0,\beta_1,\beta_2,\beta_3)' pelos MQO é
\hat{\boldsymbol{\beta}}=(X'X)^{-1}X'\mathbf{y}.
Explanação: X'X é a matriz de produto das colunas de X; (X'X)^{-1} existe quando as colunas de X não são colineares (independência linear). X'\mathbf{y} projeta y nas colunas de X. O resultado dá os coeficientes que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos.
  1. Resíduos e soma dos quadrados
  • Resíduos: \hat{\boldsymbol{\varepsilon}}=\mathbf{y}-X\hat{\boldsymbol{\beta}}.
  • Soma total de quadrados:
\mathrm{SST}=\sum_{i=1}^n (y_i-\bar y)^2.
  • Soma dos quadrados explicada (de regressão):
\mathrm{SSR}=\sum_{i=1}^n (\hat y_i-\bar y)^2.
  • Soma dos quadrados dos resíduos:
\mathrm{SSE}=\sum_{i=1}^n (y_i-\hat y_i)^2.
Relação: \mathrm{SST}=\mathrm{SSR}+\mathrm{SSE}.
  1. Teste global da regressão (parte (a))
  • Hipóteses:
H_0:\\ \beta_1=\beta_2=\beta_3=0 \quad\text{vs.}\quad H_a:\\ \text{algum } \beta_j\neq 0.
  • Estatística F:
F=\frac{\mathrm{SSR}/p}{\mathrm{SSE}/(n-p-1)},
onde p=3 é o número de preditores e n é o número de observações. Interpretação das componentes:
  • \mathrm{SSR}/p é a variância explicada por preditores por grau de liberdade da regressão.
  • \mathrm{SSE}/(n-p-1) é a estimativa do \sigma^2 (variância residual) por grau de liberdade residual.
  • Sob H_0, F\sim F_{p,\;n-p-1}. Rejeitamos H_0 se F>F_{1-\alpha;p,n-p-1} (o quantil superior da distribuição F) ou se p-valor <\alpha.
  1. Testes individuais dos coeficientes (parte (b))
  • A variância estimada de \hat{\boldsymbol{\beta}} é
\widehat{\operatorname{Var}}(\hat{\boldsymbol{\beta}})=\hat\sigma^2 (X'X)^{-1},
com \hat\sigma^2=\mathrm{SSE}/(n-p-1).
  • O erro padrão do j-ésimo coeficiente \hat\beta_j é
\mathrm{se}(\hat\beta_j)=\sqrt{\hat\sigma^2\,[ (X'X)^{-1}]_{jj}}.
  • Estatística t para testar H_0:\beta_j=0 (teste bilateral) é
t_j=\frac{\hat\beta_j}{\mathrm{se}(\hat\beta_j)},
que, sob H_0, segue t_{n-p-1} (distribuição t com n-p-1 graus de liberdade). Rejeita-se H_0 se |t_j|>t_{1-\alpha/2,n-p-1} ou se p-valor <\alpha.
  1. Passos práticos para calcular na prova (sequência que você segue com calculadora ou software)
  • (i) Certifique-se n é mesmo e que todos vetores têm tamanho n.
  • (ii) Calcule \bar y e médias das colunas de X.
  • (iii) Monte X'X e X'\mathbf{y} e resolva \hat{\boldsymbol{\beta}}=(X'X)^{-1}X'\mathbf{y}.
  • (iv) Calcule \hat y_i e resíduos \hat\varepsilon_i, depois \mathrm{SSE} e \mathrm{SSR}.
  • (v) Calcule \hat\sigma^2=\mathrm{SSE}/(n-p-1) e a matriz de variância \hat\sigma^2 (X'X)^{-1}, daí os \mathrm{se}(\hat\beta_j).
  • (vi) Calcule F e compare com F_{1-\alpha;p,n-p-1} ou obtenha p-valor; calcule os t_j e compare com t-crit ou p-valor.
  • (vii) Interprete: se regressão significativa, concluímos que conjunto de preditores ajuda a explicar y; se coeficiente individual significativo, esse predictor tem efeito estatisticamente diferente de zero mantendo os outros constantes.

Passo 4

Exemplos de interpretação e valores críticos (para \alpha=0,10, caso você precise rápido na prova):
  • Para o teste F global com p=3, os graus de liberdade são (3,n-4). Com n por exemplo igual a 21 (se fosse esse o n correto), teríamos df residuais 21-3-1=17 e o valor crítico F_{0,90;3,17} (consultar tabela F) — normalmente em tabela ou calculadora. Eu não forneço o número exato do quantil porque depende do n correto.
  • Para os testes t individuais usa-se t_{1-\alpha/2,n-p-1}, por exemplo com df residuais 17 e \alpha=0,10, t_{0,95,17} em tabela (novamente, consulte tabela t).

Passo 5

O que eu preciso que você faça (rápido) para que eu calcule tudo numericamente e te entregue respostas prontas para a prova:
  • Confirme/corrija os dados para que haja exatamente o mesmo número n de observações em y,x_1,x_2,x_3. Se houver uma observação a mais em y, diga qual delas retirar (ou corrija os x's faltantes). Não invente valores — use os dados reais.
  • Assim que você me enviar os vetores com o mesmo tamanho n, eu executo todos os cálculos passo a passo (cálculo de \hat\beta_j, \mathrm{SSE}, F, t's, p-valores) e te dou a conclusão para (a) e (b) no nível \alpha=0,10.
Força — isso tem solução fácil assim que os vetores ficarem coerentes; me manda os dados corrigidos que eu resolvo calculando tudo e explicando cada conta passo a passo.

Resposta

(a) Não é possível avaliar numericamente: os vetores fornecidos têm comprimentos diferentes ( y tem 22 observações, x_1 tem 21, x_2 tem 20, x_3 tem 21), logo não dá para ajustar o modelo nem calcular o F.
(b) Não é possível avaliar numericamente: por mesma razão, não dá para calcular os coeficientes, seus erros padrão nem os testes t individuais.

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