Questão 1)
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede para resolver essa equação, ou seja, encontrar as funções
que satisfazem essa igualdade para
em algum intervalo. As informações que temos são exatamente essa equação; não há condição inicial fornecida.
Passo 2
Escrevendo explicitamente a derivada como uma razão de diferenciais, temos
Aqui
é função de
(ou seja
) e
. Essa forma é útil porque permite separar as variáveis
e
em lados diferentes da igualdade.
Passo 3
Fazer separação de variáveis significa manipular a equação para que todos os termos em
fiquem multiplicando
em um lado e todos os termos em
fiquem multiplicando
no outro. A partir de
multiplicamos ambos os lados por
e dividimos por nada (já está pronto), obtendo
Isso é legal porque agora podemos integrar cada lado em relação à sua variável.
Passo 4
Integramos os dois lados (integrais indefinidas):
Vou explicar a integral:
é a antiderivada de
em relação a
(trata-se de uma integral básica de potência), e
é a antiderivada de
em relação a
.
Passo 5
Calculando as antiderivadas:
onde
e
são constantes de integração (uma para cada lado). Portanto temos
Passo 6
Reagrupando as constantes: subtraindo
de ambos os lados e multiplicando por
para simplificar, obtemos
Como
é apenas uma constante arbitrária, podemos chamá-la de
. Assim
onde
é uma constante real arbitrária (a constante geral da família de soluções).
Passo 7
Isolando
obtemos as soluções explícitas
O símbolo
aparece porque, a partir de
, tanto
quanto
satisfazem a igualdade. Note que
pode ser qualquer número real, mas para que a raiz seja real no ponto
considerado precisamos ter
; isso define o domínio de cada solução real.
Passo 8
Verificação rápida: para a escolha
calculemos
. Usando derivada de raiz,
Multiplicando por
obtemos
portanto satisfaz a equação. A mesma verificação vale para a escolha negativa
(o sinal negativo cancela na multiplicação).
Passo 9
Soluções constantes? Se tentarmos
teríamos
, ou seja
, que só é verdade em
. Logo
não é solução válida em um intervalo contendo valores distintos de
; não existe solução constante não-trivial. As soluções encontradas
são as gerais (definidas em intervalos onde o radicando é não-negativo).
Passo 10
Sobre escolha do sinal e condição inicial: se houver uma condição inicial do tipo
ela determina
e também o sinal da raiz. Por exemplo, se
então
e a solução é a rama positiva
, porque a rama negativa teria
, que não bate com a condição. Em geral, a condição inicial fixa a constante
e a escolha do sinal em cada intervalo conectado onde a solução é contínua.
Passo 11
Interpretação geométrica rápida: a relação implícita
corresponde a hipérboles no plano
. Cada valor de
dá uma hipérbole distinta; as soluções
são as duas ramos (superior e inferior) dessas hipérboles.