Questão 1)
y y^{\prime}=x
\begin{aligned} & y \frac{d y}{d x}=x \\\ & y d y=x d x \\\ & \int y d y=\int x d x \\\ & \frac{y^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{2}+C \\\ & y^{2}=x^{2}+2 C \\\ & y= \pm \sqrt{x^{2}+2 C} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
y\,y' = x
e pede para resolver essa equação, ou seja, encontrar as funções y(x) que satisfazem essa igualdade para x em algum intervalo. As informações que temos são exatamente essa equação; não há condição inicial fornecida.

Passo 2

Escrevendo explicitamente a derivada como uma razão de diferenciais, temos
y\frac{d y}{d x}=x.
Aqui y é função de x (ou seja y=y(x)) e y'=\dfrac{d y}{d x}. Essa forma é útil porque permite separar as variáveis y e x em lados diferentes da igualdade.

Passo 3

Fazer separação de variáveis significa manipular a equação para que todos os termos em y fiquem multiplicando d y em um lado e todos os termos em x fiquem multiplicando d x no outro. A partir de
y\frac{d y}{d x}=x
multiplicamos ambos os lados por d x e dividimos por nada (já está pronto), obtendo
y\,d y = x\,d x.
Isso é legal porque agora podemos integrar cada lado em relação à sua variável.

Passo 4

Integramos os dois lados (integrais indefinidas):
\int y\,d y = \int x\,d x.
Vou explicar a integral: \int y\,d y é a antiderivada de y em relação a y (trata-se de uma integral básica de potência), e \int x\,d x é a antiderivada de x em relação a x.

Passo 5

Calculando as antiderivadas:
\int y\,d y = \frac{y^{2}}{2} + C_1, \qquad \int x\,d x = \frac{x^{2}}{2} + C_2,
onde C_1 e C_2 são constantes de integração (uma para cada lado). Portanto temos
\frac{y^{2}}{2} + C_1 = \frac{x^{2}}{2} + C_2.

Passo 6

Reagrupando as constantes: subtraindo C_1 de ambos os lados e multiplicando por 2 para simplificar, obtemos
y^{2} = x^{2} + 2(C_2-C_1).
Como 2(C_2-C_1) é apenas uma constante arbitrária, podemos chamá-la de K. Assim
y^{2} = x^{2} + K,
onde K é uma constante real arbitrária (a constante geral da família de soluções).

Passo 7

Isolando y obtemos as soluções explícitas
y(x)=\pm \sqrt{x^{2}+K}.
O símbolo \pm aparece porque, a partir de y^{2} = \cdots, tanto y=+\sqrt{\cdots} quanto y=-\sqrt{\cdots} satisfazem a igualdade. Note que K pode ser qualquer número real, mas para que a raiz seja real no ponto x considerado precisamos ter x^{2}+K\ge 0; isso define o domínio de cada solução real.

Passo 8

Verificação rápida: para a escolha y=+\sqrt{x^{2}+K} calculemos y'. Usando derivada de raiz,
y'=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+K}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+K}}.
Multiplicando por y obtemos
y\,y'=\sqrt{x^{2}+K}\cdot\frac{x}{\sqrt{x^{2}+K}}=x,
portanto satisfaz a equação. A mesma verificação vale para a escolha negativa y=-\sqrt{x^{2}+K} (o sinal negativo cancela na multiplicação).

Passo 9

Soluções constantes? Se tentarmos y\equiv 0 teríamos 0\cdot y'=x, ou seja 0=x, que só é verdade em x=0. Logo y\equiv 0 não é solução válida em um intervalo contendo valores distintos de 0; não existe solução constante não-trivial. As soluções encontradas y=\pm\sqrt{x^{2}+K} são as gerais (definidas em intervalos onde o radicando é não-negativo).

Passo 10

Sobre escolha do sinal e condição inicial: se houver uma condição inicial do tipo y(x_0)=y_0 ela determina K e também o sinal da raiz. Por exemplo, se y(0)=1 então K=1 e a solução é a rama positiva y(x)=\sqrt{x^{2}+1}, porque a rama negativa teria y(0)=-1, que não bate com a condição. Em geral, a condição inicial fixa a constante K e a escolha do sinal em cada intervalo conectado onde a solução é contínua.

Passo 11

Interpretação geométrica rápida: a relação implícita
y^{2}-x^{2}=K
corresponde a hipérboles no plano xy. Cada valor de K dá uma hipérbole distinta; as soluções y=\pm\sqrt{x^{2}+K} são as duas ramos (superior e inferior) dessas hipérboles.

Resposta

y(x)=\pm \sqrt{x^{2}+K}

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