\begin{aligned} & \frac{d y}{d x}=(1-y)(2-y) \\\ & \frac{1}{(1-y)(2-y)} d y=\frac{(1-y)(2-y)}{(1-y)(2-y)} d x \\\ & \frac{1}{(1-y)(2-y)} d y=d x \\\ & \int \frac{1}{(1-y)} d y \int-\frac{1}{(2-y)} d y=\int d x \\\ & -\ln |1-y|+\ln |2-y|=x+C \\\ & \ln |2-y|=\ln |1-y|+(x+C) \\\ & \ln |2-y|=\ln |1-y|+\ln \left(e^{x+C}\right) \\\ & |2-y|=|1-y| e^{x+C} \\\ & 2-y=(1-y) e^{x+C} \\\ & 2-y=e x+C-y e x+C \\\ & 2=e^{x+C}+y\left(e^{x+C}-1\right) \\\ & y\left(e^{x+C}-1\right)=2-e^{x+C} \\\ & \text { solução:y }=\frac{2-e^{x+C}}{\left(e^{x+C}-1\right)} \end{aligned}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=(1-y)(2-y)
e pede a solução geral y(x). Não há condição inicial fornecida, portanto vamos encontrar a família de soluções (constante de integração incluída) e lembrar das soluções constantes que possam existir.
Passo 2
Identificar que a equação é separável: todas as potências de y podem ficar em um lado e x no outro. Escrevendo isso explicitamente:
O valor absoluto pode ser removido absorvendo o sinal em uma constante arbitrária C (agora C pode ser qualquer número real não nulo). Assim podemos escrever de forma geral
\frac{2-y}{1-y}=C e^{x},
onde C é uma constante real arbitrária (pode ser positiva, negativa ou zero — o caso C=0 dá uma solução particular que veremos abaixo).
Passo 6
Isolar y. Partindo de
2-y=C e^{x}(1-y)
faça as contas passo a passo:
2-y=C e^{x}-C e^{x}y,
traga os termos com y para um lado:
-y + C e^{x}y = C e^{x}-2,
fatore y:
y\bigl(C e^{x}-1\bigr)=C e^{x}-2.
Finalmente,
y(x)=\frac{C e^{x}-2}{C e^{x}-1},
válido quando C e^{x}\neq 1 (pois aí o denominador seria zero).
Passo 7
Não esquecer as soluções constantes (pontos de equilíbrio). Se y for constante então dy/dx=0, logo da equação original (1-y)(2-y)=0. Portanto existem as soluções constantes
y(x)\equiv 1\qquad\text{e}\qquad y(x)\equiv 2,
que não estão necessariamente representadas pela expressão obtida para valores de C que fariam o denominador identicamente zero (essas constantes são tratadas separadamente).
Resposta
y(x)=\frac{C e^{x}-2}{C e^{x}-1},\quad C\in\mathbb{R}\\ \text{(constante de integração), com }C e^{x}\neq 1çã