Questão 1)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral
. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação relaciona
, e a derivada . - Não há condição inicial fornecida, então busca-se a família de soluções gerais com uma constante arbitrária.
- Atenção: algumas manipulações envolvem dividir por
ou por , então devemos observar casos especiais como ou .
Passo 2
Colocar a equação na forma explícita da derivada, dividindo por
. Isso exige
. Fazendo a divisão obtemos
Isso significa que a taxa de variação de
em relação a
é proporcional a
com fator
.
Passo 3
Separar variáveis (trazer todos os termos em
para um lado e os termos em
para o outro). Assumindo momentaneamente
para poder dividir por
,
Explicando a ideia: separar variáveis permite integrar cada lado em relação à sua variável, o que é um método padrão quando a equação pode ser escrita nessa forma.
Passo 4
Integrar ambos os lados. A primitiva de
é
(porque
). Assim,
implica
onde
é a constante de integração (pode representar a diferença entre duas constantes de integração se tivesse integrado separadamente).
Passo 5
Eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados. Aplicando
temos
Usando
e
e definindo
, obtemos
Passo 6
Remover o valor absoluto: a igualdade
significa que
pode ser
ou
. Podemos incorporar o sinal em uma única constante real
(onde
pode ser positivo, negativo ou zero). Assim a família de soluções é
Observação:
dá a solução trivial
.
Passo 7
Tratar os casos que foram proibidos temporariamente pelas divisões:
- Caso
: é solução porque substituindo em vem , verdadeiro para todo . - Caso
: durante a separação dividimos por , por isso a dedução direta exigia . Porém a solução explícita está bem definida para também (dá ). Em resumo, a família com descreve as soluções que se estendem continuamente para ; a manipulação inicial só foi localmente para .
Passo 8
Verificação direta (checar se a solução encontrada resolve a equação): se
então
. Substituindo na equação original,
portanto a igualdade é satisfeita para todo
. Logo a família está correta.
Passo 9
Comentário prático e exemplo: escolher
dá
; escolher
dá
;
dá
. Em prova, basta mostrar a separação de variáveis, integrar e tratar a constante
como fizemos — e não esqueça de mencionar o caso
se você dividiu por
em algum passo.