Questão 1)
x y^{\prime}=y
\begin{aligned} & x \frac{d y}{d x}=y \\\ & \frac{x}{y} \frac{d y}{d x}=1 \\\ & \frac{x}{y} d y=1 d x \\\ & \frac{1}{y} d y=\frac{1}{x} d x \\\ & \int \frac{1}{y} d y=\int \frac{1}{x} d x \\\ & \ln |y|=\ln |x|+C \\\ & e^{\ln |y|}=e^{\ln |x|+C} \\\ & |y|=e^{C} \cdot|x| \\\ & y=k \cdot x \gg \text { solução: } y=C x \end{aligned}çã

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\frac{dy}{dx}=y
e pede a solução geral y(x). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação relaciona x, y e a derivada dy/dx.
  • Não há condição inicial fornecida, então busca-se a família de soluções gerais com uma constante arbitrária.
  • Atenção: algumas manipulações envolvem dividir por x ou por y, então devemos observar casos especiais como x=0 ou y\equiv0.

Passo 2

Colocar a equação na forma explícita da derivada, dividindo por x. Isso exige x\neq0. Fazendo a divisão obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}.
Isso significa que a taxa de variação de y em relação a x é proporcional a y com fator 1/x.

Passo 3

Separar variáveis (trazer todos os termos em y para um lado e os termos em x para o outro). Assumindo momentaneamente y\neq0 para poder dividir por y,
\frac{1}{y}\,dy=\frac{1}{x}\,dx.
Explicando a ideia: separar variáveis permite integrar cada lado em relação à sua variável, o que é um método padrão quando a equação pode ser escrita nessa forma.

Passo 4

Integrar ambos os lados. A primitiva de 1/u é \ln|u| (porque \dfrac{d}{du}\ln|u|=1/u). Assim,
\int \frac{1}{y}\,dy=\int \frac{1}{x}\,dx
implica
\ln|y|=\ln|x|+C,
onde C é a constante de integração (pode representar a diferença entre duas constantes de integração se tivesse integrado separadamente).

Passo 5

Eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados. Aplicando e^{(\cdot)} temos
e^{\ln|y|}=e^{\ln|x|+C}.
Usando e^{\ln|y|}=|y| e e^{\ln|x|}=|x| e definindo A=e^{C}>0, obtemos
|y|=A\,|x|.

Passo 6

Remover o valor absoluto: a igualdade |y|=A|x| significa que y pode ser +A x ou -A x. Podemos incorporar o sinal em uma única constante real K (onde K pode ser positivo, negativo ou zero). Assim a família de soluções é
y=Kx,\qquad K\in\mathbb{R}.
Observação: K=0 dá a solução trivial y\equiv0.

Passo 7

Tratar os casos que foram proibidos temporariamente pelas divisões:
  • Caso y\equiv0: é solução porque substituindo em x\,dy/dx=y vem x\cdot0=0, verdadeiro para todo x.
  • Caso x=0: durante a separação dividimos por x, por isso a dedução direta exigia x\neq0. Porém a solução explícita y=Kx está bem definida para x=0 também (dá y(0)=0). Em resumo, a família y=Kx com K\in\mathbb{R} descreve as soluções que se estendem continuamente para x=0; a manipulação inicial só foi localmente para x\neq0.

Passo 8

Verificação direta (checar se a solução encontrada resolve a equação): se y=Kx então \dfrac{dy}{dx}=K. Substituindo na equação original,
x\frac{dy}{dx}=xK=Kx=y,
portanto a igualdade é satisfeita para todo x. Logo a família está correta.

Passo 9

Comentário prático e exemplo: escolher K=2 y=2x; escolher K=-\tfrac12 y=-\tfrac12 x; K=0 y\equiv0. Em prova, basta mostrar a separação de variáveis, integrar e tratar a constante C como fizemos — e não esqueça de mencionar o caso y\equiv0 se você dividiu por y em algum passo.

Resposta

y=Cx

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