Questão 2. Primeiro faça uma substituição indicada e em seguida use integração por partes para calcular a integral.
int y ln (2+y) dy, w=2+y

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
integral y ln(2+y),dy
usando primeiro a substituição indicada w=2+y e depois integração por partes.

Passo 2

Fazendo a substituição
w = 2 + y, y = w-2, dy = dw,
a integral torna-se
integral (w-2)ln w,dw = integral wln w,dw ;-;2integral ln w,dw

Passo 3

Para
I1 = integral wln w,dw
aplicamos partes com u=ln w, dv=w,dw. Então
du = 1w,dw, v = w^22,
e
I1 = w^22ln w ;-;integral w^22cdot1w,dw = w^22ln w ;-;12integral w,dw = w^22ln w - w^24

Passo 4

Para
I2 = integral ln w,dw
aplicamos partes com u=ln w, dv=dw. Então
du=1w,dw, v=w,
e
I2 = wln w - integral wcdot1w,dw = wln w - integral 1,dw = wln w - w

Passo 5

Voltando à integral original e somando as partes:
integral yln(2+y),dy = I1 ;-;2,I2 + C = l(w^22ln w - w^24r) -2l(wln w - wr)+C

Passo 6

Substituindo w=y+2 e simplificando os termos, chega-se a
integral yln(2+y),dy = y^2-42ln(y+2) - y^24 + y + 3 + C

Resposta

boxedy^2-42ln(y+2) - y^24 + y + 3 + C

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