Questão 2. Primeiro faça uma substituição indicada e em seguida use integração por partes para calcular a integral.
int r^3 e^-r^2 dr, w=-r^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral r^3e^-r^2,dr
usando primeiro a substituição indicada w=-r^2 e depois integração por partes. O conteúdo aqui é integrar um produto polinomial–exponencial, para o qual usamos substituição para simplificar o expoente e depois a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Fazendo w=-r^2 obtemos
dw = -2r,dr Longrightarrow r,dr = -tfrac12,dw
Além disso r^3dr = r^2,(r,dr). Como r^2 = -w, temos
r^3e^-r^2,dr = l(r^2r),e^w,(r,dr) = (-w),e^w,l(-tfrac12,dwr) = tfracw2,e^w,dw
Logo a integral vira
integral r^3e^-r^2,dr = integral w2,e^w,dw

Passo 3

Aplicamos integração por partes em
integral w2,e^w,dw
Escolhemos
u = w, dv = 12e^w,dw Longrightarrow du = dw, v = 12e^w
Então
integral w2e^w,dw = u,v - integral v,du = wcdot12e^w - integral 12e^w,dw = w2e^w - 12e^w + C

Passo 4

Voltando à variável r, lembrando w=-r^2 e e^w=e^-r^2, obtemos
w2e^w - 12e^w = 12l(w - 1r)e^w = 12l(-r^2 - 1r)e^-r^2 = -12l(r^2+1r)e^-r^2 + C

Resposta

-tfrac12l(r^2+1r)e^-r^2 + C

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