Questão 2.

Prisma Triangular Regular - Desvio Mínimo (Engenharia Química / Física)
Em laboratórios de análise espectroquímica - técnica amplamente utilizada na indústria química e petroquímica do polo de Camaçari (BA) - prismas de vidro flint com ângulo de abertura \mathbf{A}=\mathbf{6 0}^{\boldsymbol{\circ}} e índice de refração \mathbf{n}=\mathbf{1 , 7 0} são empregados para dispersar a luz e identificar compostos químicos por absorção.
(a) Determine o ângulo de desvio mínimo \delta_{\mathrm{m}} do prisma, utilizando a relação:
n=\operatorname{sen}\left[\left(A+\delta_{m}\right) / 2\right] / \operatorname{sen}(A / 2)
(b) Calcule o ângulo de incidência \theta_{1} necessário para que o raio atravesse o prisma em desvio mínimo.
(c) Explique por que a condição de desvio mínimo é utilizada como referência na calibração de refratômetros industriais.
Dados: \operatorname{sen}\left(30^{\circ}\right)=0,500 ; \operatorname{arcsen}(0,850) \approx 58,2^{\circ} ; \operatorname{arcsen}(0,425) \approx 25,2^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  • (a) Determinar o ângulo de desvio mínimo \delta_{m} do prisma, usando a relação fornecida.
  • (b) Calcular o ângulo de incidência \theta_{1} necessário para que o raio atravesse o prisma em desvio mínimo.
  • (c) Explicar por que a condição de desvio mínimo é usada como referência na calibração de refratômetros industriais.
Informações e dados dados no enunciado (peguei estes valores do enunciado):
  • Abertura do prisma: A=60^\circ.
  • Índice de refração do vidro: n=1{,}70.
  • Relação fornecida: n=\frac{\operatorname{sen}\!\bigl((A+\delta_{m})/2\bigr)}{\operatorname{sen}\!(A/2)}.
  • Valores trigonométricos fornecidos: \operatorname{sen}(30^\circ)=0{,}500; \operatorname{arcsen}(0{,}850)\approx58{,}2^\circ; \operatorname{arcsen}(0{,}425)\approx25{,}2^\circ.
  • Presume-se meio externo com índice n_{\text{ar}}=1 (ar), que é o caso padrão.

Passo 2

Vou isolar \delta_{m} na relação dada. Primeiro, escrevo a equação e explico o que cada símbolo significa:
n=\frac{\operatorname{sen}\!\bigl((A+\delta_{m})/2\bigr)}{\operatorname{sen}\!(A/2)}.
  • n é o índice de refração do prisma (em relação ao ar).
  • A é o ângulo de abertura do prisma.
  • \delta_{m} é o ângulo de desvio mínimo que queremos.
    Multiplicando ambos os lados por \operatorname{sen}(A/2) obtemos:
\operatorname{sen}\!\bigl((A+\delta_{m})/2\bigr)=n\;\operatorname{sen}\!(A/2).

Passo 3

Agora substituo os números conhecidos: A=60^\circ implica A/2=30^\circ e a tabela deu \operatorname{sen}(30^\circ)=0{,}500. Portanto
\operatorname{sen}\!\bigl((A+\delta_{m})/2\bigr)=1{,}70\times0{,}500=0{,}850.
Como \operatorname{arcsen}(0{,}850) foi fornecido no enunciado como 58{,}2^\circ, segue que
\frac{A+\delta_{m}}{2}=\operatorname{arcsen}(0{,}850)\approx58{,}2^\circ.
Multiplicando por 2:
A+\delta_{m}\approx2\times58{,}2^\circ=116{,}4^\circ.
Isolando \delta_{m}:
\delta_{m}=116{,}4^\circ - A =116{,}4^\circ-60^\circ=56{,}4^\circ.
Portanto o valor numérico é \delta_{m}\approx56{,}4^\circ. (Pequeno cheque de coerência: o seno usado (0{,}850) é admissível, está entre -1 e 1.)

Passo 4

Agora passo para (b). Para isso preciso usar a Lei de Snell e a condição geométrica do desvio mínimo. Vou ensinar isso devagarinho:
  • Lei de Snell (entre ar e vidro): n_{\text{ar}}\operatorname{sen}\theta_{1}=n\operatorname{sen} r_{1}, onde
    • \theta_{1} é o ângulo de incidência no primeiro face (no ar),
    • r_{1} é o ângulo de refração dentro do prisma referente à primeira face,
    • n_{\text{ar}}=1 é o índice do ar e n é o índice do prisma.
  • A condição de desvio mínimo corresponde ao trajeto simétrico do raio dentro do prisma: os dois ângulos de refração internos são iguais, isto é r_{1}=r_{2}. Dessa igualdade e da geometria do prisma obtém-se r_{1}=r_{2}=\frac{A}{2}.
Esta última é uma relação importante: em desvio mínimo a luz entra e sai simetricamente, então o ângulo interno é metade do ângulo do prisma.

Passo 5

Usando r_{1}=A/2 e a Lei de Snell com n_{\text{ar}}=1:
\operatorname{sen}\theta_{1}=n\;\operatorname{sen} r_{1}=n\;\operatorname{sen}\!\bigl(A/2\bigr).
Substituindo números: A/2=30^\circ, \operatorname{sen}(30^\circ)=0{,}500 e n=1{,}70, então
\operatorname{sen}\theta_{1}=1{,}70\times0{,}500=0{,}850.
Tomando arco-seno (valor fornecido): \theta_{1}=\operatorname{arcsen}(0{,}850)\approx58{,}2^\circ.
Logo o ângulo de incidência necessário para o desvio mínimo é \theta_{1}\approx58{,}2^\circ.

Passo 6

Rápida verificação geométrica (útil na prova): para trajeto simétrico existe outra fórmula prática que liga \delta_{m} e \theta_{1}:
\delta_{m}=2\theta_{1}-A.
Substituindo \theta_{1}\approx58{,}2^\circ e A=60^\circ obtém-se \delta_{m}=2\times58{,}2^\circ-60^\circ=56{,}4^\circ, que confirma o resultado do passo 3. Esse tipo de verificação ajuda a evitar erros de cálculo em prova.

Passo 7

Agora (c): explicação didática e prática — por que usar o desvio mínimo como referência em refratômetros?
  • Em desvio mínimo o percurso do raio no prisma é simétrico ( r_{1}=r_{2}=A/2). Isso torna a relação entre o índice n e o ângulo \delta_{m} única e direta (a fórmula do enunciado), ou seja, cada \delta_{m} corresponde a um único n.
  • Matematicamente, \delta atinge um extremo (mínimo) em relação ao ângulo de incidência; isso significa que pequenas imprecisões no alinhamento do feixe provocam variações muito menores em \delta perto do mínimo — a medição fica menos sensível a erros de apontamento.
  • Experimentalmente, o ponto de desvio mínimo é fácil de localizar (procura-se o mínimo de desvio ao variar o ângulo) e dá uma leitura estável e reprodutível, o que é essencial em calibração industrial.
  • Em resumo: o desvio mínimo fornece uma relação estável, unívoca e pouco sensível a desalinhamentos, permitindo determinar n com precisão e repetir a medição de forma confiável — por isso é adotado como referência em refratômetros.

Passo 8

Força aí — a conta principal é curta, mas entender por que o caminho é simétrico e como usar Snell ajuda muito a ganhar tempo e segurança na prova. Se quiser, posso montar um esquema rápido (desenhado em texto) mostrando os ângulos no prisma para memorizar a relação r_{1}=A/2 e \delta_{m}=2\theta_{1}-A.

Resposta

\delta_{m}\approx56{,}4^\circ
\theta_{1}\approx58{,}2^\circ
Em desvio mínimo o trajeto é simétrico ( r_{1}=r_{2}=A/2), o que dá uma relação única e direta entre n e \delta_{m}; além disso esse ponto é um extremo (variação nula local), tornando a medição menos sensível a desalinhamentos e mais reprodutível — por isso é usado como referência em refratômetros.

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