Determine os pontos críticos das seguintes funções.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar os pontos críticos dessa função.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é um polinômio em duas variáveis
e , portanto é diferenciável em todo o plano. - Um ponto crítico é um ponto
onde o gradiente de é o vetor nulo (ou seja, todas as derivadas parciais first-order são zero) ou onde essas derivadas não existem (aqui elas existem em todo lugar). - Ou seja, devemos resolver o sistema formado pelas equações
e .
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de
. Lembrete rápido de como derivar termos polinomiais:
- Para uma função em
do tipo , a derivada é . - Para uma soma, deriva-se termo a termo.
- Ao derivar em relação a
, tratam-se as outras variáveis (aqui ) como constantes, e vice-versa.
Derivada parcial em relação a
:
Como
é tratado como constante ao derivar em
, os termos em
desaparecem e obtemos
Derivada parcial em relação a
:
Agora
é constante, então termos em
desaparecem e ficamos com
Passo 3
Os pontos críticos satisfazem o sistema
Dividindo cada equação por
Resolve-se cada equação simples:
- Pela primeira, , portanto
- Pela segunda,
é uma quadrática. Fatorando:
logo
Como as equações são independentes (a condição em
não envolve
e vice‑versa), todas as combinações possíveis das soluções são pontos críticos. Assim os pontos críticos são:
Passo 4
Agora vamos classificar cada ponto crítico (mínimo local, máximo local ou ponto de sela). Para isso usamos a matriz Hessiana e o teste das segundas derivadas para funções de duas variáveis.
Definições e fórmulas:
- A matriz Hessiana é
onde
,
e
.
- O determinante do Hessiano será denotado por
- Teste das segundas derivadas (caso usual):
- Se
e então ponto de mínimo local. - Se
e então ponto de máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
- Se
Vamos calcular as segundas derivadas da nossa função:
A partir de temos
A partir de
A partir de
temos
Como as derivadas mistas de um polinômio sem termos mistos são zero,
Portanto o determinante do Hessiano é
Passo 5
Avaliaremos
,
e
em cada ponto crítico para classificar.
- Ponto
:
Como
e
,
é um mínimo local.
- Ponto
:
Como
,
é um ponto de sela.
- Ponto
:
Como
,
é um ponto de sela.
- Ponto
:
Como
e
,
é um máximo local.
Passo 6
Para ficar completo, pode ser útil conhecer os valores de
nesses pontos (não era estritamente pedido, mas ajuda a visualizar):
Esses valores corroboram a classificação: mínimo local em
com
e máximo local em
com
; os outros dois são selas.