Determine os pontos críticos das seguintes funções.
f(x, y)=x^{3}+y^{3}+3 y^{2}-3 x-9 y+2.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{3}+y^{3}+3y^{2}-3x-9y+2
e pede para determinar os pontos críticos dessa função.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é um polinômio em duas variáveis x e y, portanto é diferenciável em todo o plano.
  • Um ponto crítico é um ponto (x,y) onde o gradiente de f é o vetor nulo (ou seja, todas as derivadas parciais first-order são zero) ou onde essas derivadas não existem (aqui elas existem em todo lugar).
  • Ou seja, devemos resolver o sistema formado pelas equações \dfrac{\partial f}{\partial x}=0 e \dfrac{\partial f}{\partial y}=0.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f. Lembrete rápido de como derivar termos polinomiais:
  • Para uma função em x do tipo x^{n}, a derivada é n x^{n-1}.
  • Para uma soma, deriva-se termo a termo.
  • Ao derivar em relação a x, tratam-se as outras variáveis (aqui y) como constantes, e vice-versa.
Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}\bigr) + \frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{3}\bigr) + \frac{\partial}{\partial x}\bigl(3y^{2}\bigr) - \frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x\bigr) - \frac{\partial}{\partial x}\bigl(9y\bigr) + \frac{\partial}{\partial x}(2).
Como y é tratado como constante ao derivar em x, os termos em y desaparecem e obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}-3.
Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{3}\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(3y^{2}\bigr) - \frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x\bigr) - \frac{\partial}{\partial y}\bigl(9y\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}(2).
Agora x é constante, então termos em x desaparecem e ficamos com
\frac{\partial f}{\partial y}=3y^{2}+6y-9.

Passo 3

Os pontos críticos satisfazem o sistema
\begin{cases} 3x^{2}-3=0,\\[4pt] 3y^{2}+6y-9=0. \end{cases}
Dividindo cada equação por 3\) (isso simplifica e preserva as soluções): \[\begin{cases} x^{2}-1=0,\\[4pt] y^{2}+2y-3=0. \end{cases}
Resolve-se cada equação simples:
  • Pela primeira, x^{2}-1=0\] implica \(x^{2}=1, portanto
x=1 \quad\text{ou}\quad x=-1.
  • Pela segunda, y^{2}+2y-3=0 é uma quadrática. Fatorando:
y^{2}+2y-3=(y+3)(y-1)=0,
logo
y=1 \quad\text{ou}\quad y=-3.
Como as equações são independentes (a condição em x não envolve y e vice‑versa), todas as combinações possíveis das soluções são pontos críticos. Assim os pontos críticos são:
(1,1),\\ (1,-3),\\ (-1,1),\\ (-1,-3).]

Passo 4

Agora vamos classificar cada ponto crítico (mínimo local, máximo local ou ponto de sela). Para isso usamos a matriz Hessiana e o teste das segundas derivadas para funções de duas variáveis.
Definições e fórmulas:
  • A matriz Hessiana é
H_f(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix},
onde f_{xx}=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, f_{yy}=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} e f_{xy}=f_{yx}=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}.
  • O determinante do Hessiano será denotado por
D(x,y)=\det H_f(x,y)=f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y)-\bigl(f_{xy}(x,y)\bigr)^{2}.
  • Teste das segundas derivadas (caso usual):
    • Se D>0 e f_{xx}>0 então ponto de mínimo local.
    • Se D>0 e f_{xx}<0 então ponto de máximo local.
    • Se D<0 então ponto de sela.
    • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Vamos calcular as segundas derivadas da nossa função:
A partir de \dfrac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}-3 temos
f_{xx}= \frac{\partial}{\partial x}(3x^{2}-3)=6x.
A partir de \dfrac{\partial f}{\partial y}=3y^{2}+6y-9 temos
f_{yy}= \frac{\partial}{\partial y}(3y^{2}+6y-9)=6y+6.
Como as derivadas mistas de um polinômio sem termos mistos são zero,
f_{xy}=f_{yx}=0.
Portanto o determinante do Hessiano é
D(x,y)=f_{xx}\,f_{yy}=(6x)(6y+6)=36\,x\,(y+1).]

Passo 5

Avaliaremos f_{xx}, f_{yy} e D em cada ponto crítico para classificar.
  1. Ponto (1,1):
f_{xx}(1,1)=6\cdot 1=6,\qquad f_{yy}(1,1)=6\cdot 1+6=12.
D(1,1)=36\cdot 1\cdot (1+1)=36\cdot 2=72>0.
Como D>0 e f_{xx}>0, (1,1) é um mínimo local.
  1. Ponto (1,-3):
f_{xx}(1,-3)=6\cdot 1=6,\qquad f_{yy}(1,-3)=6\cdot(-3)+6=-12.
D(1,-3)=36\cdot 1\cdot(-3+1)=36\cdot(-2)=-72<0.
Como D<0, (1,-3) é um ponto de sela.
  1. Ponto (-1,1):
f_{xx}(-1,1)=6\cdot(-1)=-6,\qquad f_{yy}(-1,1)=6\cdot 1+6=12.
D(-1,1)=36\cdot(-1)\cdot(1+1)=36\cdot(-2)=-72<0.
Como D<0, (-1,1) é um ponto de sela.
  1. Ponto (-1,-3):
f_{xx}(-1,-3)=6\cdot(-1)=-6,\qquad f_{yy}(-1,-3)=6\cdot(-3)+6=-12.
D(-1,-3)=36\cdot(-1)\cdot(-3+1)=36\cdot(-1)\cdot(-2)=72>0.
Como D>0 e f_{xx}<0, (-1,-3) é um máximo local.

Passo 6

Para ficar completo, pode ser útil conhecer os valores de f nesses pontos (não era estritamente pedido, mas ajuda a visualizar):
  • f(1,1)=1^{3}+1^{3}+3\cdot1^{2}-3\cdot1-9\cdot1+2 = -5.
  • f(1,-3)=1^{3}+(-3)^{3}+3\cdot(-3)^{2}-3\cdot1-9\cdot(-3)+2=27.
  • f(-1,1)=(-1)^{3}+1^{3}+3\cdot1^{2}-3\cdot(-1)-9\cdot1+2=-1.
  • f(-1,-3)=(-1)^{3}+(-3)^{3}+3\cdot(-3)^{2}-3\cdot(-1)-9\cdot(-3)+2=31.
Esses valores corroboram a classificação: mínimo local em (1,1) com f=-5 e máximo local em (-1,-3) com f=31; os outros dois são selas.

Resposta

(1,1) — mínimo local.
(1,-3) — ponto de sela.
(-1,1) — ponto de sela.
(-1,-3) — máximo local.

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