Questão 8:
Em muitos problemas físicos, o termo não-homogêneo pode ser especificado por fórmulas diferentes em períodos de tempo diferentes. Como exemplo, determine a solução y=\varphi(t) de
y^{\prime \prime}+y=\left\{\begin{array}{ll} t, & 0 \leq t \leq \pi \\\ \pi e^{\pi-t}, & t>\pi \end{array}\right.
que satisfaz as condições iniciais y(0)=0, y^{\prime}(0)=1. Suponha, também, que y e y^{\prime} são contínuas em t=\pi. Faça o gráfico do termo não-homogêneo e da solução em função do tempo. Sugestão: primeiro, resolva o problema de valor inicial para t \leq \pi; depois resolva para t>\pi, determinando as constantes nesta última solução a partir das condições de continuidade em t=\pi.

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial de segunda ordem não-homogênea com termo forçante dependente de t\) por partes: \[y''+y=\begin{cases} t, & 0\le t\le \pi,\\[4pt] \pi e^{\pi-t}, & t>\pi, \end{cases}
com condições iniciais
y(0)=0,\qquad y'(0)=1,
e a condição adicional de que y\] e \(y' são contínuas em t=\pi.
O que o problema pede:
  • Determinar a solução y=\varphi(t) válida para todo t\ge0, isto é, achar a solução em cada intervalo e escolher constantes de modo que y e y' sejam contínuas em t=\pi.
  • Fazer o gráfico (descrever) do termo não-homogêneo e da solução em função do tempo.
Informações relevantes do enunciado:
  • O forçamento é diferente em dois intervalos: primeiro é t (polinomial) até \pi; depois é \pi e^{\pi-t} (exponencial decrescente) para t>\pi.
  • Temos condições iniciais em t=0.
  • Usar continuidade de y e y' em t=\pi para ligar as duas soluções.]

Passo 2

Resolver para 0\le t\le \pi.
Primeiro, escrever a solução geral da equação homogênea associada. A homogênea é
y''+y=0.
A solução geral desta homogênea é
y_h(t)=A\cos t + B\sin t,
onde A e B são constantes arbitrárias. Explicando: para equações lineares com coeficientes constantes, tenta-se e^{rt}, obtém-se r^2+1=0 com raízes r=\pm i, levando às soluções seno e cosseno.
Agora precisamos de uma solução particular para o termo forçante t. Como o forçamento é um polinômio de grau 1, pelo método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients) suponha uma particular da forma polinomial do mesmo grau:
y_p(t)=at+b,
com a,b constantes a achar. Observação didática: aqui não há ressonância com as soluções homogêneas (seno e cosseno), então testar um polinômio simples funciona.
Calcular derivadas:
y_p'(t)=a,\qquad y_p''(t)=0.
Substituir na equação y''+y=t:
0 + (at+b) = t.
Comparando coeficientes do polinômio, obtemos
a=1,\qquad b=0.
Portanto
y_p(t)=t.
A solução geral no intervalo 0\le t\le \pi é a soma:
y(t)=A\cos t + B\sin t + t.
Aplicar condições iniciais em t=0:
y(0)=A\cdot 1 + B\cdot 0 + 0 = A = 0,
logo A=0.
Derivada:
y'(t) = -A\sin t + B\cos t + 1.
Em t=0:
y'(0) = -A\cdot 0 + B\cdot 1 + 1 = B+1.
Como y'(0)=1 temos B+1=1\Rightarrow B=0.
Conclusão para 0\le t\le \pi:
y(t)=t.
Comentário amigável: que sorte — nesta primeira etapa a solução ficou exatamente y=t! É simples porque a escolha do particular cancelou a parte homogênea pelas condições iniciais.

Passo 3

Avaliar y e y' no ponto de junção t=\pi (valores pelo lado esquerdo, que serão usados como condições iniciais para o segundo intervalo). Como para t\le\pi temos y(t)=t, então
y(\pi^-)=\pi,\qquad y'(\pi^-)=1.
Observação: o enunciado exige continuidade de y e y' em t=\pi; portanto, para o ramo t>\pi devemos ter
y(\pi^+)=\pi,\qquad y'(\pi^+)=1,
essas serão as condições iniciais para o problema em t>\pi.

Passo 4

Resolver para t>\pi: equação
y''+y=\pi e^{\pi-t}.
É conveniente escrever o forçamento como uma constante multiplicada por e^{-t}:
\pi e^{\pi-t} = \underbrace{\pi e^{\pi}}_{:=K}\, e^{-t},
ou seja K=\pi e^{\pi}.
Novamente a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1\cos t + C_2\sin t.
Procuramos uma particular do tipo k e^{-t}, pois o lado direito é proporcional a e^{-t}. Supor
y_p(t)=k e^{-t}.
Calcular derivadas:
y_p'(t) = -k e^{-t},\qquad y_p''(t)=k e^{-t}.
Substituir em y''+y=K e^{-t}:
k e^{-t} + k e^{-t} = 2k e^{-t} = K e^{-t}.
Daí 2k = K = \pi e^{\pi}, então
k=\frac{\pi e^{\pi}}{2}.
Portanto a solução particular é
y_p(t)=\frac{\pi e^{\pi}}{2} e^{-t} = \frac{\pi}{2} e^{\pi-t}.
A solução geral para t>\pi é
y(t)=C_1\cos t + C_2\sin t + \frac{\pi}{2} e^{\pi-t}.

Passo 5

Determinar C_1 e C_2 impondo continuidade em t=\pi:
Condição em y(\pi):
y(\pi)=C_1\cos\pi + C_2\sin\pi + \frac{\pi}{2} e^{0} = C_1(-1) + 0 + \frac{\pi}{2} = \pi.
Isto é
- C_1 + \frac{\pi}{2} = \pi \quad\Rightarrow\quad -C_1 = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2},
então
C_1 = -\frac{\pi}{2}.
Agora a condição em y'(\pi). Primeiro calcular y'(t) para o ramo t>\pi:
y'(t) = -C_1\sin t + C_2\cos t + \frac{d}{dt}\!\left(\frac{\pi}{2} e^{\pi-t}\right).
A derivada do termo exponencial é -\dfrac{\pi}{2} e^{\pi-t}. Portanto
y'(t) = -C_1\sin t + C_2\cos t - \frac{\pi}{2} e^{\pi-t}.
Em t=\pi:
y'(\pi) = -C_1\sin\pi + C_2\cos\pi - \frac{\pi}{2} e^{0} = 0 + C_2(-1) - \frac{\pi}{2}.
Impor y'(\pi)=1
- C_2 - \frac{\pi}{2} = 1 \quad\Rightarrow\quad -C_2 = 1 + \frac{\pi}{2},
logo
C_2 = -\left(1+\frac{\pi}{2}\right) = -1 - \frac{\pi}{2}.
Resumo dos coeficientes:
C_1 = -\frac{\pi}{2},\qquad C_2 = -1 - \frac{\pi}{2}.

Passo 6

Escrever a solução final, peça por peça:
Para 0\le t\le \pi:
y(t)=t.
Para t>\pi:
y(t)= -\frac{\pi}{2}\cos t -\left(1+\frac{\pi}{2}\right)\sin t + \frac{\pi}{2} e^{\pi-t}.
Pequenas observações didáticas sobre o comportamento:
  • A solução é continuamente ligada em t=\pi por construção.
  • O termo forçante: para 0\le t\le\pi é uma reta crescente f(t)=t que vai de 0 a \pi; para t>\pi é f(t)=\pi e^{\pi-t}, que em t=\pi vale \pi e depois decai exponencialmente (é proporcional a e^{-t}). Assim o forçamento é contínuo em t=\pi, mas sua derivada tem descontinuidade (a inclinação muda de 1 para -\pi e^{\pi-t} no instante).
  • O comportamento da solução para grandes t: o termo exponencial \dfrac{\pi}{2}e^{\pi-t} decai para zero, restando a combinação linear de \cos t e \sin t que gera uma oscilação harmônica permanente (amplitude constante). Portanto a solução não decai para zero porque há contribuição homogênea determinada pelas constantes; porém está limitada e oscilatória.

Passo 7

Descrição dos gráficos (como desenhar rapidamente à mão ou visualizar):
Gráfico do termo não-homogêneo f(t):
  • Para t de 0 a \pi: reta f(t)=t, começa em (0,0) e vai até (\pi,\pi).
  • Para t>\pi: curva exponencial f(t)=\pi e^{\pi-t}, com valor f(\pi)=\pi e decrescendo rapidamente quando t aumenta.
  • A junção em t=\pi é suave (valor contínuo), formando um “V” suave que muda de inclinação.
Gráfico da solução y(t):
  • Para 0\le t\le\pi: reta y(t)=t com inclinação 1.
  • Em t=\pi ocorre uma transição: para t>\pi a solução passa a ser combinação de seno e cosseno mais um termo exponencial decrescente. Logo, depois de \pi aparece uma oscilação do tipo harmônico deslocada (fase e amplitude definidas pelos C_1,C_2), com pequena contribuição transitória exponencial que se apaga com o tempo.
  • Assim o gráfico é uma reta até \pi, contínua e com derivada contínua em \pi, e a partir daí segue uma curva oscilante (senoidal) cuja envoltória aproxima-se da combinação harmônica fixa quando t cresce.
Força motivacional: ótimo trabalho até aqui — a técnica de resolver por partes e usar continuidade é poderosa e muito comum em problemas físicos com forçamentos temporais diferentes.

Resposta

y(t)=t,\quad 0\le t\le \pi
y(t)=-\dfrac{\pi}{2}\cos t-\left(1+\dfrac{\pi}{2}\right)\sin t+\dfrac{\pi}{2}e^{\pi-t},\quad t>\pi

Exercícios relacionados