Questão 9:
Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados.
(b) y^{\prime \prime}-2 y=\sin 4 x

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
y''-2y=\sin 4x,
e pede a solução geral usando o método dos coeficientes indeterminados.
Informações relevantes dadas:
  • A equação é linear, com coeficientes constantes.
  • O termo não homogêneo (forçamento) é \sin 4x.
  • A incógnita é a função y(x) cuja derivada segunda aparece.
O objetivo final é encontrar a solução geral y(x), que é a soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Vamos resolver primeiro a equação homogênea associada:
y''-2y=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica:
r^2-2=0.
Resolvendo:
r^2=2 \quad\Rightarrow\quad r=\pm\sqrt{2}.
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1 e^{\sqrt{2}\,x}+C_2 e^{-\sqrt{2}\,x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.
Explicação curta: a razão de procurar e^{rx} é que derivadas de exponenciais são proporcionais à própria exponencial, o que transforma a ODE em um polinômio em r (a equação característica).

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p(x) da equação completa. O método dos coeficientes indeterminados diz: escolha uma forma para y_p parecida com o termo não homogêneo, com coeficientes constantes a determinar.
O termo não homogêneo é \sin 4x. Para força senoidal com frequência 4, tentamos a forma
y_p(x)=A\cos 4x + B\sin 4x,
com A,B desconhecidos.
Comentário sobre ressonância: se e^{\lambda x} com \lambda igual a i4 (ou seja, raízes da característica \pm 4i) fosse solução da homogênea, precisaríamos multiplicar a tentativa por x. Aqui as raízes da característica são \pm\sqrt{2} (reais), diferente de \pm 4i, então não há ressonância e a forma acima é adequada.

Passo 4

Calcule as derivadas de y_p. Primeiro a primeira derivada:
y_p'(x) = -4A\sin 4x + 4B\cos 4x.
Agora a segunda derivada:
y_p''(x) = -16A\cos 4x -16B\sin 4x.
Explicação curta: derivar \cos 4x -4\sin 4x; derivar novamente traz outro fator -4, totalizando (-4)^2=-16 para o termo em \cos. Mesma ideia para \sin.

Passo 5

Substituímos y_p e y_p'' na equação y''-2y=\sin 4x:
y_p''-2y_p = \bigl(-16A\cos 4x -16B\sin 4x\bigr) -2\bigl(A\cos 4x + B\sin 4x\bigr).
Agrupando termos em \cos 4x e \sin 4x:
y_p''-2y_p = (-16A-2A)\cos 4x + (-16B-2B)\sin 4x = -18A\cos 4x -18B\sin 4x.
Esse resultado deve ser igual ao lado direito \sin 4x, ou seja:
-18A\cos 4x -18B\sin 4x = 0\cdot\cos 4x + 1\cdot\sin 4x.
Pelo princípio da igualdade de funções trigonométricas (coeficientes de \cos 4x e \sin 4x iguais), obtemos o sistema para A,B:
\begin{cases} -18A = 0,\\[4pt] -18B = 1. \end{cases}]

Passo 6

Resolva o sistema para A e B:
-18A=0 \quad\Rightarrow\quad A=0,
-18B=1 \quad\Rightarrow\quad B=-\dfrac{1}{18}.
Portanto a solução particular é
y_p(x)=0\cdot\cos 4x -\dfrac{1}{18}\sin 4x = -\dfrac{1}{18}\sin 4x.

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1 e^{\sqrt{2}\,x}+C_2 e^{-\sqrt{2}\,x}-\dfrac{1}{18}\sin 4x,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (determinariam-se por condições iniciais, se fornecidas).
Dica prática para a prova: ao ver um termo como \sin(kx) ou \cos(kx), tente diretamente A\cos kx+B\sin kx e verifique ressonância comparando \pm ik com as raízes da equação característica; se houver coincidência multiplica-se por x, x^2, etc., até eliminar a coincidência.

Resposta

y(x)=C_1 e^{\sqrt{2}\,x}+C_2 e^{-\sqrt{2}\,x}-\dfrac{1}{18}\sin 4x

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