Questão 9:
Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados.
(b)
Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
e pede a solução geral usando o método dos coeficientes indeterminados.
Informações relevantes dadas:
- A equação é linear, com coeficientes constantes.
- O termo não homogêneo (forçamento) é
. - A incógnita é a função
cuja derivada segunda aparece.
O objetivo final é encontrar a solução geral
, que é a soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Vamos resolver primeiro a equação homogênea associada:
Para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma
. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica:
Resolvendo:
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Explicação curta: a razão de procurar
é que derivadas de exponenciais são proporcionais à própria exponencial, o que transforma a ODE em um polinômio em
(a equação característica).
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
da equação completa. O método dos coeficientes indeterminados diz: escolha uma forma para
parecida com o termo não homogêneo, com coeficientes constantes a determinar.
O termo não homogêneo é
. Para força senoidal com frequência
, tentamos a forma
com
desconhecidos.
Comentário sobre ressonância: se
com
igual a
(ou seja, raízes da característica
) fosse solução da homogênea, precisaríamos multiplicar a tentativa por
. Aqui as raízes da característica são
(reais), diferente de
, então não há ressonância e a forma acima é adequada.
Passo 4
Calcule as derivadas de
. Primeiro a primeira derivada:
Agora a segunda derivada:
Explicação curta: derivar
dá
; derivar novamente traz outro fator
, totalizando
para o termo em
. Mesma ideia para
.
Passo 5
Substituímos
e
na equação
:
Agrupando termos em
e
:
Esse resultado deve ser igual ao lado direito
, ou seja:
Pelo princípio da igualdade de funções trigonométricas (coeficientes de
e
iguais), obtemos o sistema para
:
Passo 6
Resolva o sistema para
e
:
Portanto a solução particular é
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é a soma da homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias (determinariam-se por condições iniciais, se fornecidas).
Dica prática para a prova: ao ver um termo como
ou
, tente diretamente
e verifique ressonância comparando
com as raízes da equação característica; se houver coincidência multiplica-se por
,
, etc., até eliminar a coincidência.