Questão 8 (1,0 pt) Resolva
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Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condições iniciais e escolher a solução correta entre as opções dadas. Informações fornecidas:
As alternativas dadas (peguei do enunciado) são:
Passo 2
Estratégia de solução (passo a passo): para equações lineares com coeficientes constantes do tipo
, uma técnica padrão é procurar soluções da forma
. Isso funciona porque a derivada de uma exponencial é proporcional à própria exponencial, o que reduz a EDO a uma equação algébrica para
(a chamada equação característica). Aqui a equação é
, que não tem termo em
, então aplicamos essa técnica.
Passo 3
Assumimos
. Derivando e substituindo na EDO:
Substituindo em
obtemos
Como
para todo
, podemos dividir por
e obter a equação característica
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Como são duas raízes reais distintas
e
, a solução geral da EDO homogênea é combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 5
Calculamos a derivada
para aplicar a condição inicial
:
Agora aplicamos as condições iniciais:
- De
:
- De
:
Da segunda equação obtemos
. Substituindo na primeira:
Logo
.
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral obtemos
Podemos reconhecer a função hiperbólica cosseno, lembrando que a definição é
Aplicando com
:
Multiplicando ambos os lados por
dá
que é exatamente a nossa solução. Assim
(Fica também verificado que
e
.)