Questão 8 (1,0 pt) Resolva
y^{\prime \prime}-\frac{1}{4} y=0, y(0)=4, y^{\prime}(0)=0 .
y=2 e^{2 t} \sin \frac{t}{2} y=4 \operatorname{sinh} \frac{t}{2} y=4 \operatorname{cosh} \frac{t}{2}
y=2 e^{2 t} \cos \frac{t}{2} y=e^{2 t}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condições iniciais e escolher a solução correta entre as opções dadas. Informações fornecidas:
y^{\prime\prime}-\frac{1}{4}y=0,
y(0)=4,
y^{\prime}(0)=0.
As alternativas dadas (peguei do enunciado) são:
y=2 e^{2 t} \sin \frac{t}{2},\quad y=4 \operatorname{sinh} \frac{t}{2},\quad y=4 \operatorname{cosh} \frac{t}{2},
y=2 e^{2 t} \cos \frac{t}{2},\quad y=e^{2 t}.

Passo 2

Estratégia de solução (passo a passo): para equações lineares com coeficientes constantes do tipo \,y''+ay'+by=0, uma técnica padrão é procurar soluções da forma \,y=e^{rt}. Isso funciona porque a derivada de uma exponencial é proporcional à própria exponencial, o que reduz a EDO a uma equação algébrica para r (a chamada equação característica). Aqui a equação é \,y''-\tfrac14 y=0, que não tem termo em y', então aplicamos essa técnica.

Passo 3

Assumimos \,y=e^{rt}. Derivando e substituindo na EDO:
y' = r e^{rt},\qquad y'' = r^2 e^{rt}.
Substituindo em \,y''-\tfrac14 y=0 obtemos
r^2 e^{rt} - \frac{1}{4} e^{rt} = 0.
Como e^{rt}\neq0 para todo t, podemos dividir por e^{rt} e obter a equação característica
r^2 - \frac{1}{4} = 0.

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
r^2 = \frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad r = \pm \frac{1}{2}.
Como são duas raízes reais distintas \,r_1=\tfrac12 e \,r_2=-\tfrac12, a solução geral da EDO homogênea é combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(t)=C_1 e^{\tfrac{t}{2}} + C_2 e^{-\tfrac{t}{2}},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Calculamos a derivada y'(t) para aplicar a condição inicial \,y'(0)=0:
y'(t) = \frac{1}{2}C_1 e^{\tfrac{t}{2}} - \frac{1}{2}C_2 e^{-\tfrac{t}{2}}.
Agora aplicamos as condições iniciais:
  1. De y(0)=4:
y(0)=C_1 + C_2 = 4.
  1. De y'(0)=0:
y'(0)=\frac{1}{2}C_1 - \frac{1}{2}C_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad C_1 - C_2 = 0.
Da segunda equação obtemos C_1=C_2. Substituindo na primeira:
C_1 + C_1 = 4 \quad\Rightarrow\quad 2C_1 = 4 \quad\Rightarrow\quad C_1 = 2.
Logo C_2=2.

Passo 6

Substituindo C_1=2 e C_2=2 na solução geral obtemos
y(t)=2 e^{\tfrac{t}{2}} + 2 e^{-\tfrac{t}{2}}.
Podemos reconhecer a função hiperbólica cosseno, lembrando que a definição é
\operatorname{cosh} x = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.
Aplicando com x=\tfrac{t}{2}:
\operatorname{cosh}\frac{t}{2} = \frac{e^{\tfrac{t}{2}}+e^{-\tfrac{t}{2}}}{2}.
Multiplicando ambos os lados por 4
4\operatorname{cosh}\frac{t}{2} = 2\bigl(e^{\tfrac{t}{2}}+e^{-\tfrac{t}{2}}\bigr),
que é exatamente a nossa solução. Assim
y(t)=4\operatorname{cosh}\frac{t}{2}.
(Fica também verificado que y(0)=4 e y'(0)=0.)

Resposta

y=4\operatorname{cosh}\frac{t}{2}

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