1 (UF-CE, adaptado) Seja
. Qual é o valor de
?
Passo 1
O enunciado dá a expansão
e pede o valor da soma dos coeficientes correspondentes às potências ímpares:
Informações relevantes: temos todos os coeficientes
definidos pela expansão acima; o polinômio tem grau
. A tarefa é calcular a soma dos coeficientes com expoente ímpar.
Passo 2
Defino o polinômio
Vou usar propriedades simples de avaliação de polinômios para extrair somas de coeficientes. Isso é prático porque avaliar
em certos pontos transforma a soma dos coeficientes em números fáceis de calcular.
Passo 3
Propriedade 1: quando eu avalio
em
eu obtenho a soma de todos os coeficientes, porque
Exemplo rápido (só para intuição): se
, então
dá a soma dos coeficientes.
Passo 4
Propriedade 2: quando eu avalio
em
eu obtenho a diferença entre a soma dos coeficientes de termos de grau par e a soma dos coeficientes de termos de grau ímpar, pois
Chamando
soma dos coeficientes de graus pares e
soma dos coeficientes de graus ímpares, temos
Passo 5
A partir das duas igualdades acima posso isolar
. Subtraindo:
Logo,
Ou seja, a soma dos coeficientes de expoente ímpar é
. Esse é um método padrão e rápido para obter soma de coeficientes pares ou ímpares.
Passo 6
Agora calculo
e
diretamente usando a expressão do polinômio:
(observação: peguei os valores de
substituindo
e
)
Passo 7
Aplico a fórmula de
:
Agora calculo
. Sabendo que
e
, temos