1 (UF-CE, adaptado) Seja \left(1+x+x^{2}\right)^{10}=A_{0}+A_{1} x+A_{2} x^{2}+\ldots+A_{20} x^{20}. Qual é o valor de A_{1}+A_{3}+ +\mathrm{A}_{5}+\ldots+\mathrm{A}_{19} ?

Passo 1

O enunciado dá a expansão
\left(1+x+x^{2}\right)^{10}=A_{0}+A_{1}x+A_{2}x^{2}+\dots+A_{20}x^{20},
e pede o valor da soma dos coeficientes correspondentes às potências ímpares:
A_{1}+A_{3}+A_{5}+\dots+A_{19}.
Informações relevantes: temos todos os coeficientes A_{k} definidos pela expansão acima; o polinômio tem grau 20. A tarefa é calcular a soma dos coeficientes com expoente ímpar.

Passo 2

Defino o polinômio
P(x)=\left(1+x+x^{2}\right)^{10}=\sum_{k=0}^{20}A_{k}x^{k}.
Vou usar propriedades simples de avaliação de polinômios para extrair somas de coeficientes. Isso é prático porque avaliar P em certos pontos transforma a soma dos coeficientes em números fáceis de calcular.

Passo 3

Propriedade 1: quando eu avalio P em x=1 eu obtenho a soma de todos os coeficientes, porque
P(1)=\sum_{k=0}^{20}A_{k}\cdot 1^{k}=\sum_{k=0}^{20}A_{k}.
Exemplo rápido (só para intuição): se Q(x)=2+3x+5x^{2}, então Q(1)=2+3+5 dá a soma dos coeficientes.

Passo 4

Propriedade 2: quando eu avalio P em x=-1 eu obtenho a diferença entre a soma dos coeficientes de termos de grau par e a soma dos coeficientes de termos de grau ímpar, pois
P(-1)=\sum_{k=0}^{20}A_{k}(-1)^{k}=\sum_{\text{pares}}A_{k}-\sum_{\text{ímpares}}A_{k}.í
Chamando E= soma dos coeficientes de graus pares e O= soma dos coeficientes de graus ímpares, temos
P(1)=E+O,\qquad P(-1)=E-O.

Passo 5

A partir das duas igualdades acima posso isolar O. Subtraindo:
P(1)-P(-1)=(E+O)-(E-O)=2O.
Logo,
O=\frac{P(1)-P(-1)}{2}.
Ou seja, a soma dos coeficientes de expoente ímpar é \dfrac{P(1)-P(-1)}{2}. Esse é um método padrão e rápido para obter soma de coeficientes pares ou ímpares.

Passo 6

Agora calculo P(1) e P(-1) diretamente usando a expressão do polinômio:
P(1)=\left(1+1+1\right)^{10}=3^{10},
P(-1)=\left(1-1+1\right)^{10}=1^{10}=1.
(observação: peguei os valores de 1+x+x^{2} substituindo x=1 e x=-1)

Passo 7

Aplico a fórmula de O:
O=\frac{P(1)-P(-1)}{2}=\frac{3^{10}-1}{2}.
Agora calculo 3^{10}. Sabendo que 3^{5}=243 e 3^{10}=(3^{5})^{2}=243^{2}=59049, temos
O=\frac{59049-1}{2}=\frac{59048}{2}=29524.

Resposta

\,29524\,

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