Questão 3. (2.0 Pts) Suponha que o Wronskiano de duas soluções da equação diferencial
é igual a 1 , e que
é uma solução. Usando a fórmula de Abel, determine a solução geral de
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Informação 1: O Wronskiano de duas soluções da equação homogênea
é igual a
(constante).
- Informação 2: Uma solução da homogênea é
. - Pedido: Usando a fórmula de Abel, determinar a solução geral da equação não homogênea
Observações imediatas (dados que vamos usar explicitamente mais adiante):
- O enunciado dá o valor do Wronskiano (peguei isto do enunciado).
- O enunciado dá
(peguei isto do enunciado). - O termo do lado direito da não homogênea é
(peguei isto do enunciado).
Passo 2
Usar a fórmula de Abel para relacionar o Wronskiano com o coeficiente
.
A fórmula de Abel diz que, para a equação homogênea
o Wronskiano
de duas soluções satisfaz a equação diferencial
Isto implica a solução explícita
onde
é uma constante. Aqui foi dado que
(constante). Então
. Substituindo em
obtemos
logo
Portanto o coeficiente do termo
é zero: a equação homogênea é na forma
Passo 3
Determinar
usando que
é solução da homogênea.
Se
então
Como
satisfaz
, substituindo:
Isolando
:
Portanto a equação homogênea é
Passo 4
Achar uma segunda solução independente
usando o Wronskiano conhecido.
Pela definição do Wronskiano de
e
,
Substituindo
e
:
Dividindo por
(assumimos
, a equação original tem sentido em intervalos onde
):
Escrevemos na forma linear padrão:
Isto é uma equação linear de primeira ordem para
. O fator integrante é
Trabalhando com
em um intervalo onde
(podemos usar
depois), tomamos
. Multiplicando a equação por
obtemos
Integrando:
onde
é constante de integração. Multiplicando por
:
Uma segunda solução linearmente independente de
é obtida escolhendo
, portanto podemos tomar
(verificação rápida:
, confere.)
Passo 5
Escrever a solução geral da homogênea.
As duas soluções independentes são
e
(até constantes). Portanto a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias. (Note que usei a forma
porque
difere só por constante.)
Passo 6
Encontrar uma solução particular
da não homogênea por variação de parâmetros.
A equação não homogênea (agora com
e
) é
Usando variação de parâmetros, procuramos
com as condições auxiliares
Resolver este sistema para
e
. Em termos do Wronskiano
as fórmulas são simples:
porque
. Substituindo
e
:
Passo 7
Integrar para obter
e
, e então
.
Integrando:
Para obter uma única solução particular podemos tomar as constantes de integração zero (
). Assim escolhemos
Agora
Simplificando o segundo termo:
. Logo
Passo 8
Escrever a solução geral da não homogênea e simplificar constantes.
A solução geral é a soma da homogênea com uma particular:
Como
é arbitrário, o termo
pode ser absorvido em
. Portanto uma forma mais compacta e habitual é
onde
são constantes arbitrárias.
Resposta
com
constantes reais.