O que se pede: encontrar a solução geral y(x) (solução da equação não homogênea).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A incógnita é y(x).
O lado direito é -\tan(3\ln x), que envolve \ln x; portanto x>0 é domínio natural, e ainda precisamos excluir pontos onde \cos(3\ln x)=0 (porque aí \tan é singular).
A equação é de segunda ordem, linear, com coeficientes dependentes de x.
Passo 2
Motivação do método e mudança de variável: como os coeficientes na equação aparecem como potências de x e o termo não homogêneo é função de \ln x, é muito conveniente fazer a troca
t=\ln x,\qquad Y(t)=y(e^{t})\quad\text{ou seja}\quad Y(t)=y(x)\text{ com }t=\ln x.
Vamos calcular as derivadas de y em termos de derivadas de Y.
Esta é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes, cuja parte homogênea é simples de resolver.
Passo 4
Solução da homogênea: resolver Y''+9Y=0. A equação característica é
r^{2}+9=0\quad\Rightarrow\quad r=\pm 3\mathrm{i}.
Logo a solução geral da homogênea é
Y_{h}(t)=C_{1}\cos(3t)+C_{2}\sin(3t),
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 5
Escolha do método para a particular: o termo não homogêneo é [-\tan(3t)), que não é uma combinação simples de senos e cossenos (é uma razão \sin/\cos), logo o método dos coeficientes indeterminados não é prático. Vamos usar variação de parâmetros.
Tomamos duas soluções fundamentais da homogênea:
y_{1}(t)=\cos(3t),\qquad y_{2}(t)=\sin(3t).
A variação de parâmetros propõe uma solução particular da forma
Das fórmulas de variação de parâmetros obtemos (onde f(t)\] é o lado direito da equação não homogênea):
\[u_{1}'(t)=-\frac{f(t)y_{2}(t)}{W},\qquad u_{2}'(t)=\frac{f(t)y_{1}(t)}{W}.\]
Aqui \(f(t)=-\tan(3t). Portanto
Observação sobre domínio: essa expressão é válida em intervalos onde \tan(3\ln x) e \operatorname{sec}(3\ln x) estão bem definidos, i.e., onde \cos(3\ln x)\neq 0. Os pontos singulares ocorrem quando