Questão 6. (a) Que quantidade de calor deve absorver uma amostra de gelo de massa \mathrm{m}= 720 g a -10^{\circ} \mathrm{C} para passar ao estado líquido a 15^{\circ} \mathrm{C} ? (b) Se fornecermos ao gelo uma energia total de apenas 50 kcal (na forma de calor), quais serão o estado final e a temperatura da amostra? ( c_{\text {gelo }}=0,53 \mathrm{cal} / \mathrm{g}{ }^{\circ} \mathrm{C}, c_{\text {água }}=1,00 \mathrm{cal} / \mathrm{g}{ }^{\circ} \mathrm{C}, L_{\text {fusão }}=80 \mathrm{cal} / \mathrm{g}áã )

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) calcular a quantidade de calor que uma amostra de gelo de massa \,m=720\\ \text{g}\, a -10^\circ\text{C} deve absorver para ficar líquida a 15^\circ\text{C};
  • (b) se em vez dessa energia completa nós fornecermos apenas \,50\\ \text{kcal}\, (na forma de calor), determinar o estado final e a temperatura da amostra.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
  • massa: m=720\\ \text{g},
  • calor específico do gelo: c_{\text{gelo}}=0,53\\ \text{cal}/\text{g}^\circ\text{C},
  • calor específico da água: c_{\text{água}}=1,00\\ \text{cal}/\text{g}^\circ\text{C}á,
  • calor latente de fusão do gelo: L_{\text{fusão}}=80\\ \text{cal}/\text{g}ã.
O que será calculado em (a): calor necessário para as três etapas físicas separadas (aquecimento do gelo de -10^\circ\text{C} a 0^\circ\text{C}; fusão do gelo a 0^\circ\text{C}; aquecimento da água de 0^\circ\text{C} a 15^\circ\text{C}).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (mini-aula rapidinha):
  • Calor sensível (aquecimento ou resfriamento sem mudança de fase): a quantidade de calor necessária para variar a temperatura de uma massa é
Q = m\,c\,\Delta T,
onde Q é o calor (em calorias), m é a massa (em gramas), c é o calor específico (em \text{cal}/\text{g}^\circ\text{C}) e \Delta T é a variação de temperatura (em ^\circ\text{C}). Explicando: c diz quantas calorias são necessárias para elevar 1 g da substância em 1^\circ\text{C}.
  • Calor latente (mudança de fase, temperatura constante): para fundir (sólido \to líquido) ou vaporizar, a energia necessária é
Q = m\,L,
onde L é o calor latente (em \text{cal}/\text{g}). Aqui usamos L_{\text{fusão}}ã para derreter gelo em água; durante a fusão a temperatura permanece 0^\circ\text{C} até terminar a fusão.
  • Ordem das operações (para ir de gelo a -10^\circ\text{C} para água a 15^\circ\text{C}): primeiro aquecer o gelo até 0^\circ\text{C}, depois fundir todo o gelo (se houver calor suficiente), depois aquecer a água resultante até 15^\circ\text{C}. Se o calor fornecido acabar antes de completar alguma etapa, a temperatura final e o estado dependem de em que etapa parou.

Passo 3

Aplicando as fórmulas às três etapas e definindo notações:
  • etapa 1 (aquecimento do gelo de -10^\circ\text{C} a 0^\circ\text{C}): Q_1 = m\,c_{\text{gelo}}\,\Delta T_1 com \Delta T_1 = 0 - (-10)=10^\circ\text{C}.
  • etapa 2 (fusão do gelo a 0^\circ\text{C}): Q_2 = m\,L_{\text{fusão}}ã.
  • etapa 3 (aquecimento da água de 0^\circ\text{C} a 15^\circ\text{C}): Q_3 = m\,c_{\text{água}}\,\Delta T_3á com \Delta T_3 = 15-0=15^\circ\text{C}.
Vamos calcular cada Q_i em calorias.

Passo 4

Calcular Q_1:
Q_1 = m\,c_{\text{gelo}}\,\Delta T_1 = 720\cdot 0,53\cdot 10.
Faço as contas passo a passo: 0,53\cdot 10 = 5,3. Então
Q_1 = 720\cdot 5,3 = 720\cdot 5 + 720\cdot 0,3 = 3600 + 216 = 3816\\ \text{cal}.

Passo 5

Calcular Q_2 (fusão):
Q_2 = m\,L_{\text{fusão}} = 720\cdot 80 = 57\,600\\ \text{cal}.ã
(Multiplicação direta: 72\cdot 80 = 5760, com duas casas a menos -> 57\,600.)

Passo 6

Calcular Q_3:
Q_3 = m\,c_{\text{água}}\,\Delta T_3 = 720\cdot 1{,}00\cdot 15 = 720\cdot 15.á
Faço a conta: 720\cdot 10 = 7200, 720\cdot 5 = 3600, somando dá
Q_3 = 10\,800\\ \text{cal}.

Passo 7

Somar as três contribuições para obter o calor total necessário em (a):
Q_{\text{total}} = Q_1 + Q_2 + Q_3 = 3\,816 + 57\,600 + 10\,800.
Somando em etapas: 3\,816 + 57\,600 = 61\,416. Depois 61\,416 + 10\,800 = 72\,216. Logo
Q_{\text{total}} = 72\,216\\ \text{cal}.
Converter para quilocalorias (como em (b) o enunciado usa \text{kcal}): 1\\ \text{kcal}=1000\\ \text{cal}, então
Q_{\text{total}} = \frac{72\,216}{1000} = 72{,}216\\ \text{kcal}\approx 72{,}2\\ \text{kcal}.
Portanto a energia necessária para ir de -10^\circ\text{C} (gelo) a 15^\circ\text{C} (água líquida) é \,72\,216\\ \text{cal} (aprox. \,72{,}2\\ \text{kcal}).

Passo 8

Agora a parte (b): fornecemos apenas 50\\ \text{kcal}. Primeiro converter para calorias:
Q_{\text{fornecido}} = 50\\ \text{kcal} = 50\,000\\ \text{cal}.
Comparar com as etapas: para aquecer o gelo até 0^\circ\text{C} e começar a fundir é preciso primeiro Q_1=3\,816\\ \text{cal}. Como 50\,000>3\,816, há calor suficiente para aquecer o gelo até 0^\circ\text{C}. Após isso, o restante da energia vai para a fusão do gelo (a temperatura ficará 0^\circ\text{C} enquanto houver gelo para fundir).

Passo 9

Calcular quanto sobra para fusão após aquecer o gelo a 0^\circ\text{C}:
Q_{\text{restante}} = Q_{\text{fornecido}} - Q_1 = 50\,000 - 3\,816 = 46\,184\\ \text{cal}.
Energia necessária para fundir todo o gelo seria Q_2=57\,600\\ \text{cal}. Como 46\,184 < 57\,600, não há calor suficiente para fundir todo o gelo. Portanto o sistema ficará como mistura de gelo e água a 0^\circ\text{C} — a temperatura final é 0^\circ\text{C} porque durante a fusão a temperatura não muda até que todo o sólido tenha derretido.

Passo 10

Determinar a massa que efetivamente fundiu com a energia disponível para fusão:
m_{\text{fundido}} = \frac{Q_{\text{restante}}}{L_{\text{fusão}}} = \frac{46\,184}{80}.ã
Faço a divisão: 46\,184/80 = 577{,}3\\ \text{g} (aproximando uma casa decimal).
Logo a massa de água formada é m_{\text{água}}=577{,}3\\ \text{g}á e a massa de gelo remanescente é
m_{\text{gelo restante}} = 720 - 577{,}3 = 142{,}7\\ \text{g}.
Resumo físico: com 50\\ \text{kcal} obtemos uma mistura contendo cerca de 577{,}3\\ \text{g} de água líquida e 142{,}7\\ \text{g} de gelo, toda à temperatura 0^\circ\text{C}.

Resposta

(a) Q_{\text{necessário}} = 72\,216\\ \text{cal} \approx 72{,}2\\ \text{kcal}á
(b) Estado final: mistura de gelo e água à 0^\circ\text{C}; massa de água \approx 577{,}3\\ \text{g}, massa de gelo remanescente \approx 142{,}7\\ \text{g}.

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