A lagrangiana para um sistema de um grau de freendon pode ser escrita como:
L=\frac{m}{2}\left(\dot{q}^{2} \operatorname{sen} \omega t+\dot{q} q \omega \operatorname{sen} 2 \omega t+q^{2} \omega^{2}\right)
Determine as equações de Hamilton.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dado: a lagrangiana de um sistema unidimensional
L=\frac{m}{2}\Big(\dot{q}^{2}\sin\omega t+\dot{q}\,q\,\omega\sin 2\omega t+q^{2}\omega^{2}\Big).
  • Pedido: determinar as equações de Hamilton (ou seja, as equações canônicas \dot{q}=\partial H/\partial p e \dot{p}=-\partial H/\partial q), obtendo H(q,p,t) e as equações para \dot q e \dot p.
Informação útil que vamos usar (definições):
  • Momento canônico: p=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}}.
  • Hamiltoniano (transformada de Legendre): H(q,p,t)=p\dot{q}-L, onde \dot{q} deve ser escrito em função de (q,p,t).
  • Equações de Hamilton:
\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p},\qquad \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}.

Passo 2

Calcular o momento canônico p.
Começo diferenciando L em relação a \dot{q}. Como L tem termos \dot{q}^2 e \dot{q} linear, uso derivação termo a termo:
  • Derivada de \dfrac{m}{2}\dot{q}^2\sin\omega t em relação a \dot{q} é m\dot{q}\sin\omega t.
  • Derivada de \dfrac{m}{2}\dot{q}\,q\,\omega\sin2\omega t em relação a \dot{q} é \dfrac{m}{2}q\omega\sin2\omega t.
Somando:
p=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=m\dot{q}\sin\omega t+\frac{m q\omega}{2}\sin 2\omega t.
Agora uso \sin 2\omega t=2\sin\omega t\cos\omega t para simplificar:
p=m\dot{q}\sin\omega t + m q\omega\sin\omega t\cos\omega t = m\sin\omega t\big(\dot{q}+q\omega\cos\omega t\big).
Observação importante: essa expressão exige \sin\omega t\neq 0 para poder isolar \dot{q}. Nos instantes em que \sin\omega t=0 a transformação de Legendre é degenerada e o tratamento precisa de cuidado separado; aqui assumimos os instantes em que \sin\omega t\neq0.

Passo 3

Isolar \dot{q} em termos de q,p,t.
Da expressão anterior:
m\sin\omega t\big(\dot{q}+q\omega\cos\omega t\big)=p.
Logo
\dot{q}+q\omega\cos\omega t=\frac{p}{m\sin\omega t},
e finalmente
\boxed{\dot{q}=\frac{p}{m\sin\omega t}-q\omega\cos\omega t.}
Esse resultado já é uma das equações canônicas (ela deve coincidir com \partial H/\partial p depois de obter H).

Passo 4

Construir o Hamiltoniano H(q,p,t)=p\dot{q}-L, substituindo \dot{q} em função de p,q,t.
Primeiro calculo p\dot{q} usando a \dot{q} obtida:
p\dot{q}=p\!\left(\frac{p}{m\sin\omega t}-q\omega\cos\omega t\right) =\frac{p^{2}}{m\sin\omega t}-p q\omega\cos\omega t.
Agora expresso L em termos de p,q,t. Para isso é conveniente reescrever L como
L=\frac{m}{2}\Big(\sin\omega t\,\dot{q}^{2}+2\underbrace{\sin\omega t\cos\omega t}_{=\tfrac{1}{\omega}\cdot(\tfrac{\omega}{2}\sin2\omega t)}\,\dot{q}\,q\,\omega + q^{2}\omega^{2}\Big),
mas já usamos \sin2\omega t=2\sin\omega t\cos\omega t antes; substituindo \dot{q}=\dfrac{p}{m\sin\omega t}-q\omega\cos\omega t e fazendo as contas (expandindo quadrados e somando termos) obtém-se, após simplificações (ver passo algébrico abaixo), a forma
L=\frac{p^{2}}{2m\sin\omega t}+\frac{m\omega^{2}q^{2}}{2}\big(1-\sin\omega t\cos^{2}\omega t\big).
Breve nota sobre as manipulações algébricas (passos principais, sem pular contas):
  • substituir \dot{q}=X com X=\dfrac{p}{m\sin\omega t}-q\omega\cos\omega t;
  • calcular \sin\omega t\,X^{2} e 2\sin\omega t\cos\omega t\,X\,q e somar com q^{2}\omega^{2};
  • vários termos lineares em pq cancelam; o termo em p^{2} fica com coeficiente 1/(2m\sin\omega t); o termo em q^{2} se combina para dar o fator \dfrac{m\omega^{2}}{2}\big(1-\sin\omega t\cos^{2}\omega t\big).
Agora o Hamiltoniano é
H=p\dot{q}-L =\left(\frac{p^{2}}{m\sin\omega t}-p q\omega\cos\omega t\right) -\left(\frac{p^{2}}{2m\sin\omega t}+\frac{m\omega^{2}q^{2}}{2}\big(1-\sin\omega t\cos^{2}\omega t\big)\right).
Simplificando o termo em p^2:
\frac{p^{2}}{m\sin\omega t}-\frac{p^{2}}{2m\sin\omega t}=\frac{p^{2}}{2m\sin\omega t},
chegamos à expressão final para H:
\boxed{H(q,p,t)=\frac{p^{2}}{2m\sin\omega t}-p q\omega\cos\omega t-\frac{m\omega^{2}q^{2}}{2}\big(1-\sin\omega t\cos^{2}\omega t\big).}

Passo 5

Derivar as equações de Hamilton a partir de H.
  1. Verifico \dot{q}=\dfrac{\partial H}{\partial p}. Calculando a derivada:
\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{p}{m\sin\omega t}-q\omega\cos\omega t,
que é exatamente a expressão obtida antes; portanto
\boxed{\dot{q}=\frac{p}{m\sin\omega t}-q\omega\cos\omega t.}
  1. Calculo \dot{p}=-\dfrac{\partial H}{\partial q}. Diferencio H em relação a q:
  • derivada do termo \dfrac{p^{2}}{2m\sin\omega t} em relação a q é zero;
  • derivada de -p q\omega\cos\omega t em relação a q é -p\omega\cos\omega t;
  • derivada de -\dfrac{m\omega^{2}q^{2}}{2}(1-\sin\omega t\cos^{2}\omega t) em relação a q é -m\omega^{2}q(1-\sin\omega t\cos^{2}\omega t).
Somando:
\frac{\partial H}{\partial q}=-p\omega\cos\omega t - m\omega^{2}q\big(1-\sin\omega t\cos^{2}\omega t\big).
Assim
\boxed{\dot{p}=p\omega\cos\omega t + m\omega^{2}q\big(1-\sin\omega t\cos^{2}\omega t\big).}

Passo 6

Comentários finais e observações práticas.
  • Resultado completo (Hamiltoniano e equações) depende explicitamente do tempo por via dos \sin\omega t,\cos\omega t: é um sistema não-autônomo.
  • Reforço: a expressão para \dot q e o Hamiltoniano usam \sin\omega t no denominador; nos instantes em que \sin\omega t=0 a transformação de Legendre é degenerada e não se pode inverter p\mapsto\dot q dessa forma — nesses instantes o tratamento requer cuidado (modelo singular).
  • Na prova, proceda exatamente assim: compute p=\partial L/\partial\dot q, tente isolar \dot q, construía H=p\dot q-L substituindo \dot q(q,p,t) e então calcule as derivadas parciais para obter \dot q e \dot p. Se aparecer fator trigonométrico no denominador, destaque a condição de validade ( \sin\omega t\neq0).

Resposta

\dot{q}=\dfrac{p}{m\sin\omega t}-q\omega\cos\omega t
\dot{p}=p\omega\cos\omega t + m\omega^{2}q\big(1-\sin\omega t\cos^{2}\omega t\big)

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