Questão 7: Radiação Térmica - Corpo Negro e Corpo Real
Um corpo negro está a 900 K . Calcule o fluxo de energia radiada por unidade de área (use \sigma=5,67 \times 10^{-8} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}^{4} ).

Passo 1

O enunciado diz: um corpo negro está à temperatura 900\\ \mathrm{K}. Dados: constante de Stefan–Boltzmann \sigma = 5{,}67\times 10^{-8}\\ \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}. A pergunta é: calcular o fluxo de energia radiada por unidade de área (ou seja, a potência radiada por metro quadrado) desse corpo negro.

Passo 2

Qual fórmula usamos? Para um corpo negro ideal usamos a lei de Stefan–Boltzmann:
j = \sigma T^{4},
onde j é o fluxo de energia radiada por unidade de área (em \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}), \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann (em \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}) e T é a temperatura absoluta em kelvin (\mathrm{K}). Essa fórmula diz que a potência por área cresce com a quarta potência da temperatura — por isso pequenas mudanças em T mudam muito a radiação.

Passo 3

Vamos calcular T^{4} com T=900\\ \mathrm{K}. Para facilitar o cálculo sem calculadora, escrevemos 900 como 9\times 10^{2} e usamos propriedades de potências:
T^{4} = (9\times 10^{2})^{4} = 9^{4}\times 10^{8}.
Calculamos 9^{4}: 9^{2}=81, 9^{3}=729, 9^{4}=6561. Portanto
T^{4} = 6561\times 10^{8} = 6{,}561\times 10^{11}\\ \mathrm{K}^{4}.

Passo 4

Agora aplicamos a lei de Stefan–Boltzmann:
j = \sigma T^{4} = \left(5{,}67\times 10^{-8}\right)\left(6{,}561\times 10^{11}\right).
Juntando as potências de 10 \left(10^{-8}\cdot 10^{11}=10^{3}\right) e multiplicando os números:
5{,}67\times 6{,}561 = 37{,}20087.
Então
j = 37{,}20087\times 10^{3}\\ \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}.

Passo 5

Ajustando a notação científica:
j = 3{,}7200{,}87\times 10^{4}\\ \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}.
Arredondando para algarismos significativos razoáveis (por exemplo três algarismos significativos, já que \sigma tem três dígitos úteis),
j \approx 3{,}72\times 10^{4}\\ \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}.
Interpretação rápida e incentivo: isso quer dizer que cada metro quadrado desse corpo negro em 900\\ \mathrm{K} emite cerca de 3{,}7\times 10^{4}\\ \mathrm{W}. É muita energia por área — a dependência com T^{4} faz a radiação aumentar rapidamente com a temperatura. Você tá indo bem; só aplicar a fórmula, calcular T^4 usando fatoração por potências de 10 e multiplicar pelos coeficientes.

Resposta

3{,}72\times 10^{4}\\ \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}

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