Questão 8: Troca de Calor Combinada

Uma placa metálica de 1 \mathrm{~m}^{2} está exposta ao ar a 25^{\circ} \mathrm{C} e possui temperatura superficial de 100^{\circ} \mathrm{C}.
Sabendo que:
  • Coeficiente de convecção: \mathrm{h}=15 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}
  • Emissividade da superfície: \varepsilon=0,8
    -\sigma=5,67 \times 10^{-8} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}^{4}
    a) Calcule a taxa de transferência de calor total (soma de convecção + radiação).
    b) Determine a fração percentual correspondente à radiação.
    c) Explique a importância de considerar ambos os mecanismos em projetos térmicos.

Passo 1

O enunciado dá uma placa com área A=1\\ \mathrm{m}^2, temperatura superficial T_s=100^\circ\mathrm{C} e temperatura do ar T_\infty=25^\circ\mathrm{C}. Também fornece:
h=15\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)},\qquad \varepsilon=0{,}8,\qquad \sigma=5{,}67\times10^{-8}\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K^4)}.
As perguntas são:
a) Calcular a taxa de transferência de calor total (convecção + radiação).
b) Determinar a fração percentual correspondente à radiação.
c) Explicar a importância de considerar ambos os mecanismos em projetos térmicos.

Passo 2

Primeiro passo prático: converter temperaturas para Kelvin, porque a radiação usa a escala absoluta.
T_s=100^\circ\mathrm{C}=100+273{,}15=373{,}15\\ \mathrm{K},
T_\infty=25^\circ\mathrm{C}=25+273{,}15=298{,}15\\ \mathrm{K}.
Observação didática: diferenças de temperatura em Celsius e Kelvin são numericamente iguais, mas para potências da temperatura (como T^4) devemos usar Kelvin.

Passo 3

Convecção — lei de Newton do resfriamento. Fórmula e significado das variáveis:
Q_{\text{conv}}=h\,A\,(T_s-T_\infty),
onde Q_{\text{conv}} é a potência convectiva (W), h é o coeficiente de convecção (W/m^2K), A é a área (m^2) e T_s-T_\infty é a diferença de temperatura (K).
Calculemos:
Q_{\text{conv}}=15\cdot 1\cdot (100-25)=15\cdot 75=1125\\ \mathrm{W}.
Explicação amigável: isso dá a potência que o ar “leva embora” pela camada de convecção sobre a placa.

Passo 4

Radiação — lei de Stefan–Boltzmann para troca com o ambiente:
Q_{\text{rad}}=\varepsilon\,\sigma\,A\,(T_s^4-T_\infty^4).
Aqui Q_{\text{rad}} é a potência radiativa líquida (W), \varepsilon é emissividade (adiimensional), \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann e T_s e T_\infty estão em K.
Para evitar manipular números muito grandes diretamente, usamos a identidade
T_s^4-T_\infty^4=(T_s^2-T_\infty^2)(T_s^2+T_\infty^2),
e
T_s^2-T_\infty^2=(T_s-T_\infty)(T_s+T_\infty).
Calculemos passo a passo:
T_s-T_\infty=373{,}15-298{,}15=75{,}00\\ \mathrm{K},
T_s+T_\infty=373{,}15+298{,}15=671{,}30\\ \mathrm{K},
T_s^2-T_\infty^2=75{,}00\cdot 671{,}30=50347{,}5\\ \mathrm{K^2}.
Agora os quadrados:
T_s^2=373{,}15^2=139240{,}9225\\ \mathrm{K^2},
T_\infty^2=298{,}15^2=88893{,}4225\\ \mathrm{K^2},
T_s^2+T_\infty^2=139240{,}9225+88893{,}4225=228134{,}345\\ \mathrm{K^2}.
Logo
T_s^4-T_\infty^4=50347{,}5\cdot 228134{,}345\approx 1{,}148599394\times10^{10}\\ \mathrm{K^4}.
Agora a potência radiativa:
Q_{\text{rad}}=0{,}8\cdot(5{,}67\times10^{-8})\cdot 1\cdot 1{,}148599394\times10^{10}
\quad\approx 521{,}02\\ \mathrm{W}.
Comentário didático: a radiação cresce muito rápido com a temperatura (proporcional a T^4), por isso já aos 100^\circ\mathrm{C} ela é relevante.

Passo 5

Taxa total de transferência de calor é soma das componentes (ambas retirando calor da placa):
Q_{\text{total}}=Q_{\text{conv}}+Q_{\text{rad}}=1125+521{,}02=1646{,}02\\ \mathrm{W}.
Fração percentual da radiação:
\text{frac}_{\text{rad}}=\frac{Q_{\text{rad}}}{Q_{\text{total}}}\times100\%=\frac{521{,}02}{1646{,}02}\times100\%\approx31{,}65\%.
Arredondando para valores práticos: Q_{\text{total}}\approx1646\\ \mathrm{W} e radiação ≈ 521\\ \mathrm{W} (≈ 31{,}7\%).

Passo 6

Por que considerar ambos os mecanismos em projetos térmicos? (explicação curta, prática e motivadora)
  • Convecção e radiação são mecanismos físicos distintos: convecção depende do escoamento e do coeficiente h, enquanto radiação depende da emissividade e de T^4.
  • Em muitos casos (temperaturas moderadas a altas, superfícies com alta emissividade ou grandes áreas) a radiação representa uma fração significativa do balanço térmico — como aqui, cerca de 30\%. Ignorá-la pode levar a subdimensionamento de dissipadores, erro em cálculos de temperatura de operação e falhas térmicas.
  • Na prática: para projeto térmico sempre verifique se a radiação pode ser desprezada (quando muito pequena) ou se é relevante — se relevante, modele ambas e, se possível, controle emissividade (revestimentos), convecção (ventilação) e isolamento.
    Força — você já conseguiu entender as fórmulas e fazer os cálculos passo a passo; isso resolve a maioria das questões de prova que envolvem troca de calor.

Resposta

a) Q_{\text{total}}=1646{,}02\\ \mathrm{W}.
b) Fração da radiação =31{,}65\% (aprox. 31{,}7\%).
c) É preciso considerar ambos porque convecção e radiação têm mecanismos diferentes e contribuições comparáveis neste caso; desprezar a radiação pode causar erros significativos no balanço térmico e no dimensionamento térmico.

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