Questão 7 (Raios de Curvatura e Geometria do Elipsoide)
Dada a latitude de um ponto de interesse \varphi=-24^{\circ} 00^{\prime} 00^{\prime \prime} (próximo a Pato Branco):
Calcule o Raio de Curvatura da Seção Meridiana (M).

Passo 1

O enunciado dá a latitude do ponto:
\varphi = -24^\circ 00' 00''.
O que se pede: calcular o Raio de Curvatura da Seção Meridiana, que chamaremos de M, no ponto de latitude \varphi.
Informações relevantes (que preciso usar para calcular M):
  • É necessário conhecer os parâmetros do elipsoide (semi-eixo maior a e achatamento f). Vou usar o elipsoide WGS84, um padrão corrente em exercícios e aplicações, com:
a = 6378137{,}0\\ \mathrm{m},\qquad f = \dfrac{1}{298{,}257223563}.
(Se o seu professor pede outro elipsoide, repetir os mesmos passos trocando a e f.)

Passo 2

Vou apresentar a fórmula que vou usar e explicar cada termo.
Definição: o Raio de Curvatura da Seção Meridiana M numa latitude \varphi é dado por
M = \dfrac{a(1-e^2)}{(1-e^2\sin^2\varphi)^{3/2}},
onde:
  • a é o semi-eixo maior do elipsoide (metros);
  • e^2 é a excentricidade ao quadrado do elipsoide (adimensional);
  • \varphi é a latitude (radianos ou graus, desde que se calcule \sin\varphi);
  • M tem unidade de comprimento (metros).
Explicação rápida das variáveis:
  • A excentricidade ao quadrado e^2 mede o achatamento do elipsoide e relaciona a e f por
e^2 = 2f - f^2.
  • A expressão (1-e^2\sin^2\varphi)^{3/2} aparece porque a curvatura na direção meridiana depende de quão “achatado” está o elipsoide na latitude dada.

Passo 3

Calcular f numericamente e então e^2.
Primeiro:
f = \dfrac{1}{298{,}257223563}\approx 0{,}00335281066474748.
Agora:
e^2 = 2f - f^2.
Substituindo:
e^2 \approx 2\cdot 0{,}00335281066474748 - (0{,}00335281066474748)^2.
Fazendo as contas (arredondando convenientemente):
e^2 \approx 0{,}00670562132949496 - 0{,}00001124133935364 \approx 0{,}00669437999014132.

Passo 4

Calcular \sin\varphi e \sin^2\varphi para \varphi=-24^\circ.
Observação: \sin(-24^\circ)=-\sin(24^\circ), mas como aparece \sin^2\varphi o sinal não importa.
Usando o valor numérico conhecido:
\sin 24^\circ \approx 0{,}40673664307580015,
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\sin^2 24^\circ \approx (0{,}40673664307580015)^2 \approx 0{,}16543473846064.

Passo 5

Calcular e^2\sin^2\varphi e 1-e^2\sin^2\varphi, e em seguida elevar a 3/2.
Produto:
e^2\sin^2\varphi \approx 0{,}00669437999014132 \times 0{,}16543473846064 \approx 0{,}001107482931.
Então:
1 - e^2\sin^2\varphi \approx 1 - 0{,}001107482931 \approx 0{,}998892517069.
Agora calcular (1-e^2\sin^2\varphi)^{3/2}. Faço em duas etapas: raiz quadrada e depois potência 3:
Raiz quadrada:
\sqrt{1-e^2\sin^2\varphi}\approx \sqrt{0{,}998892517069}\approx 0{,}999446270.
Elevar ao cubo (ou elevar a 3/2 diretamente):
(1-e^2\sin^2\varphi)^{3/2}\approx (0{,}999446270)^3 \approx 0{,}998338778.

Passo 6

Calcular o numerador a(1-e^2):
a(1-e^2)=6378137{,}0\cdot(1-0{,}00669437999014132).
Primeiro 1-e^2\approx 0{,}9933056200098587. Então
a(1-e^2)\approx 6378137{,}0\times 0{,}9933056200098587 \approx 6335439{,}3291\\ \mathrm{m}.
(Observação: a(1-e^2) também é igual a b^2/a, onde b é o semi-eixo menor.)

Passo 7

Finalmente calcular M usando a fórmula:
M=\dfrac{a(1-e^2)}{(1-e^2\sin^2\varphi)^{3/2}}.
Substituindo os valores numéricos:
M\approx \dfrac{6335439{,}3291}{0{,}998338778}\approx 6345977{,}0\\ \mathrm{m}.
Interpretação: o raio de curvatura meridiano em \varphi=-24^\circ é aproximadamente 6{,}345{,}977\\ \mathrm{m}. Está ligeiramente maior que a(1-e^2) (valor no equador) porque o denominador (1-e^2\sin^2\varphi)^{3/2} é menor que 1 para \varphi\neq 0.

Passo 8

Dica prática para a prova: memorize a fórmula
M=\dfrac{a(1-e^2)}{(1-e^2\sin^2\varphi)^{3/2}}
e as relações e^2=2f-f^2 e f=1/(inverse\;flattening). Para cálculos manuais, faça a ordem: calcular f, depois e^2, depois \sin^2\varphi, enfim o denominador, e por último dividir o numerador pelo denominador. Vai por partes e confere cada número — é fácil se perder nos zeros!
Força aí — já está no caminho certo.

Resposta

M \approx 6\,345\,977{,}0\\ \mathrm{m}

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