Questão 7 (Raios de Curvatura e Geometria do Elipsoide)
Dada a latitude de um ponto de interesse \varphi=-24^{\circ} 00^{\prime} 00^{\prime \prime} (próximo a Pato Branco):
Calcule o Raio do Paralelo ( r_{p} ) nessa latitude.

Passo 1

O enunciado dá a latitude do ponto de interesse:
\varphi=-24^{\circ}00'00''.
O que é pedido: calcular o Raio do Paralelo r_{p} nessa latitude.
Informações adicionais necessárias (não fornecidas no enunciado): parâmetros do elipsoide de referência. Vou assumir o elipsoide WGS‑84 (padrão em muitas disciplinas de Geodésia), com:
a = 6378137{,}0\\ \mathrm{m}
f = \dfrac{1}{298{,}257223563}
Vou explicitar essas escolhas porque sem os parâmetros do elipsoide não há como obter r_p. Se o seu professor usa outro elipsoide (ex.: SAD69, GRS80), os passos são os mesmos, trocando apenas a e f.

Passo 2

Fórmulas e definições importantes (aula curta):
  • O raio do paralelo em latitude \varphi para um elipsoide de revolução é dado por
r_{p}=N\cos\varphi,
onde N é o raio de curvatura no primeiro vertical (ou raio de curvatura normal) e \cos\varphi é o cosseno da latitude.
  • O raio N é dado por
N=\dfrac{a}{\sqrt{1-e^{2}\sin^{2}\varphi}},
onde:
  • a é o semi‑eixo maior do elipsoide (em metros);
  • e é a primeira excentricidade do elipsoide;
  • \varphi é a latitude (em radianos ou graus, desde que as funções trig estejam coerentes).
  • A excentricidade e relaciona‑se com o achatamento f por
e^{2}=2f-f^{2}.
Explicação intuitiva curta: N mede quão “esticado” está o elipsoide na direcção normal ao meridiano; multiplicando por \cos\varphi obtemos o raio efetivo do paralelo (a circunferência horizontal àquela latitude).

Passo 3

Converter e avaliar funções trigonométricas:
  • A latitude dada é \varphi=-24^{\circ}00'00'', que em graus decimais é simplesmente \varphi=-24^\circ. Para as funções \sin^{2}\varphi e \cos\varphi o sinal de \varphi não altera \sin^{2}\varphi e altera apenas o sinal de \sin\varphi; portanto podemos usar |\varphi|=24^\circ para calcular magnitudes.
  • Valores trigonométricos (avaliados com precisão suficiente para provas):
\sin(24^\circ)=0{,}4067366430758002
\sin^{2}(24^\circ)=0{,}1654323812773629
\cos(24^\circ)=0{,}9135454576426009
(Dica prática para prova: geralmente é aceitável usar tabelas trigonométricas ou uma calculadora para obter \sin e \cos quando pedidos valores numéricos.)

Passo 4

Calcular f e e^{2} a partir do elipsoide WGS‑84:
f=\dfrac{1}{298{,}257223563}=0{,}0033528106647474805\ldots
e^{2}=2f-f^{2}=2\cdot0{,}0033528106647474805 - (0{,}0033528106647474805)^{2}
e^{2}=0{,}0066943799901413165\\ \text{(valor padrão conhecido para WGS‑84)}ã

Passo 5

Calcular o denominador da expressão de N:
1-e^{2}\sin^{2}\varphi = 1-0{,}0066943799901413165\cdot0{,}1654323812773629
Primeiro o produto:
e^{2}\sin^{2}\varphi \approx 0{,}0011068798690330
Agora
1-e^{2}\sin^{2}\varphi \approx 0{,}9988931201309670
Tomando a raiz quadrada:
\sqrt{1-e^{2}\sin^{2}\varphi}\approx 0{,}9994465600474640

Passo 6

Calcular N:
N=\dfrac{a}{\sqrt{1-e^{2}\sin^{2}\varphi}} = \dfrac{6378137{,}0}{0{,}9994465600474640} \approx 6381667{,}3985\\ \mathrm{m}
Explanação: dividir o semi‑eixo maior por esse fator ligeiramente menor que 1 aumenta um pouco o valor, o que faz sentido porque N é maior que a em latitudes onde \sin^{2}\varphi não é zero.

Passo 7

Calcular o raio do paralelo r_{p}:
r_{p}=N\cos\varphi = 6381667{,}3985\cdot0{,}9135454576426009
r_{p}\approx 5829941{,}4076\\ \mathrm{m}
(veja a multiplicação: N vezes \cos\varphi dá a distância do eixo de rotação até o paralelo considerado).

Resposta

r_{p}\approx 5\,829\,941{,}4076\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados