Questão 2 - Regra da Cadeia e trajetória

A temperatura em uma placa é dada por:
T(x, y)=3 x^{2}-2 x y+y^{2} .
A trajetória de um ponto móvel é
\gamma(t)=(3 \cos t, 3 \sin t) .
(a) Obtenha T(\gamma(t)) e compute
\frac{d}{d t}[T(\gamma(t))]
em t=\frac{\pi}{3} usando a Regra da Cadeia via \nabla T e \gamma^{\prime}(t).
(b) Interprete o sinal dessa derivada no instante dado e explique por que ela representa a derivada direcional de T ao longo da curva percorrida.

Passo 1

O enunciado dá a temperatura na placa e a trajetória do ponto móvel e pede duas coisas:
  • Obter T(\gamma(t)) (ou seja, compor T com a curva \gamma) e calcular \dfrac{d}{dt}\big[T(\gamma(t))\big] no instante t=\dfrac{\pi}{3} usando a Regra da Cadeia via \nabla T e \gamma'(t).
  • Interpretar o sinal dessa derivada no instante dado e explicar por que ela representa a derivada direcional de T ao longo da curva percorrida.
Informações fornecidas:
T(x,y)=3x^{2}-2xy+y^{2},
\gamma(t)=(3\cos t,\;3\sin t).

Passo 2

Primeiro vamos compor T com \gamma para obter T(\gamma(t)). Substituímos x=3\cos t e y=3\sin t em T(x,y):
T(\gamma(t))=3(3\cos t)^{2}-2(3\cos t)(3\sin t)+(3\sin t)^{2}.
Agora simplifico termo a termo:
(3\cos t)^{2}=9\cos^{2}t,\qquad (3\sin t)^{2}=9\sin^{2}t,\qquad (3\cos t)(3\sin t)=9\cos t\sin t.
Substituindo:
T(\gamma(t))=3\cdot 9\cos^{2}t-2\cdot 9\cos t\sin t+9\sin^{2}t.
Multiplicando:
T(\gamma(t))=27\cos^{2}t-18\cos t\sin t+9\sin^{2}t.

Passo 3

Agora vamos à Regra da Cadeia em várias variáveis usando o gradiente. Primeiro, definição e cálculo do gradiente:
  • O gradiente \nabla T(x,y) é o vetor com as derivadas parciais de T:
\nabla T(x,y)=\left(\dfrac{\partial T}{\partial x},\; \dfrac{\partial T}{\partial y}\right).
  • Calculo as parciais de T(x,y)=3x^{2}-2xy+y^{2}:
\dfrac{\partial T}{\partial x}=6x-2y,\qquad \dfrac{\partial T}{\partial y}=-2x+2y.
Logo
\boxed{\nabla T(x,y)=(6x-2y,\;-2x+2y).}

Passo 4

Derivada da curva \gamma(t). A derivada componente a componente é
\gamma'(t)=(-3\sin t,\;3\cos t).
A Regra da Cadeia (versão vetorial) nos diz que
\dfrac{d}{dt}\big[T(\gamma(t))\big]=\nabla T(\gamma(t))\cdot \gamma'(t),
ou seja, o produto escalar entre o gradiente avaliado na posição da curva e a velocidade da curva.

Passo 5

Vamos avaliar tudo no instante t=\dfrac{\pi}{3}. Primeiro valores de seno e cosseno:
\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2},\qquad \sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Posição e velocidade no tempo dado (peguei esses valores da própria definição de \gamma e \gamma'):
\gamma\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\left(3\cdot\dfrac{1}{2},\;3\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\left(\dfrac{3}{2},\;\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right),
\gamma'\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\left(-3\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2},\;3\cdot\dfrac{1}{2}\right)=\left(-\dfrac{3\sqrt{3}}{2},\;\dfrac{3}{2}\right).

Passo 6

Avalio o gradiente naquele ponto: substituo x=\dfrac{3}{2} e y=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} em \nabla T:
6x=6\cdot\dfrac{3}{2}=9,\qquad 2y=2\cdot\dfrac{3\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3},
logo a primeira componente:
6x-2y=9-3\sqrt{3}.
Para a segunda componente:
-2x=-2\cdot\dfrac{3}{2}=-3,\qquad 2y=3\sqrt{3},
-2x+2y=-3+3\sqrt{3}.
Portanto
\nabla T\!\left(\gamma\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right)=\left(9-3\sqrt{3},\;-3+3\sqrt{3}\right).

Passo 7

Faço agora o produto escalar \nabla T(\gamma(\pi/3))\cdot\gamma'(\pi/3). Escrevo termo a termo para não pular contas:
\begin{aligned} \dfrac{d}{dt}\big[T(\gamma(t))\big]\Big|_{t=\frac{\pi}{3}} &=(9-3\sqrt{3})\cdot\left(-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)+(-3+3\sqrt{3})\cdot\left(\dfrac{3}{2}\right). \end{aligned}
Calculo cada parcela:
(9-3\sqrt{3})\left(-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)=-\dfrac{27\sqrt{3}}{2}+\dfrac{27}{2},
porque -\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 9=-\dfrac{27\sqrt{3}}{2} e -\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot(-3\sqrt{3})=+\dfrac{27}{2}.
A segunda parcela:
(-3+3\sqrt{3})\left(\dfrac{3}{2}\right)=-\dfrac{9}{2}+\dfrac{9\sqrt{3}}{2}.
Somando:
-\dfrac{27\sqrt{3}}{2}+\dfrac{27}{2}-\dfrac{9}{2}+\dfrac{9\sqrt{3}}{2} =\left(\dfrac{27}{2}-\dfrac{9}{2}\right)+\left(-\dfrac{27\sqrt{3}}{2}+\dfrac{9\sqrt{3}}{2}\right).
Simplificando:
=\dfrac{18}{2}+\left(-\dfrac{18\sqrt{3}}{2}\right)=9-9\sqrt{3}.
Portanto
\boxed{\dfrac{d}{dt}\big[T(\gamma(t))\big]\Big|_{t=\frac{\pi}{3}}=9-9\sqrt{3}.}

Passo 8

Um pequeno cálculo auxiliar que ajuda a interpretar: norma da velocidade no tempo dado
\|\gamma'(\tfrac{\pi}{3})\|=\sqrt{\Big(-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\Big)^{2}+\Big(\dfrac{3}{2}\Big)^{2}} =\sqrt{\dfrac{27}{4}+\dfrac{9}{4}}=\sqrt{\dfrac{36}{4}}=3.
O vetor unitário na direção da velocidade é
\mathbf{u}=\dfrac{\gamma'(\pi/3)}{\|\gamma'(\pi/3)\|}=\dfrac{1}{3}\left(-\dfrac{3\sqrt{3}}{2},\;\dfrac{3}{2}\right)=\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\;\dfrac{1}{2}\right).
A derivada direcional de T na direção \mathbf{u} (derivada por unidade de deslocamento) é
D_{\mathbf{u}}T(\gamma(\tfrac{\pi}{3}))=\nabla T(\gamma(\tfrac{\pi}{3}))\cdot \mathbf{u}=\dfrac{1}{3}\big(9-9\sqrt{3}\big)=3-3\sqrt{3}.
E como \dfrac{d}{dt}T(\gamma(t))=\|\gamma'\|\,D_{\mathbf{u}}T, obtemos de novo 9-9\sqrt{3}.

Passo 9

Interpretação do sinal (didática e intencionalmente clara e curta):
  • Note que 9-9\sqrt{3}=9(1-\sqrt{3}) é negativo porque \sqrt{3}>1. Numericamente é aproximadamente -6{,}588.
  • Sinal negativo significa que, no instante t=\dfrac{\pi}{3}, a temperatura ao longo da trajetória está diminuindo com o tempo: o ponto móvel experimenta uma queda de temperatura naquele instante.
  • Por que isso é a derivada direcional? Porque a Regra da Cadeia fornece \dfrac{d}{dt}T(\gamma(t))=\nabla T(\gamma(t))\cdot\gamma'(t). O produto escalar entre \nabla T e a velocidade \gamma' mede a componente da taxa de variação de T na direção em que o ponto está se movendo. Se esse produto é negativo, a componente do movimento está na direção de decréscimo de T; se fosse positivo, estaria subindo; se fosse zero, não haveria variação instantânea.

Resposta

(a) T(\gamma(t))=27\cos^{2}t-18\cos t\sin t+9\sin^{2}t,\quad \dfrac{d}{dt}\big[T(\gamma(t))\big]\Big|_{t=\frac{\pi}{3}}=9-9\sqrt{3}.
(b) O valor 9-9\sqrt{3} é negativo, portanto a temperatura está diminuindo naquele instante; isso representa a derivada direcional de T na direção da velocidade \gamma'(t) porque \dfrac{d}{dt}T(\gamma(t))=\nabla T(\gamma(t))\cdot\gamma'(t), que mede a taxa de variação de T ao longo da curva.

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