em t=\frac{\pi}{3} usando a Regra da Cadeia via \nabla T e \gamma^{\prime}(t).
(b) Interprete o sinal dessa derivada no instante dado e explique por que ela representa a derivada direcional de T ao longo da curva percorrida.
Passo 1
O enunciado dá a temperatura na placa e a trajetória do ponto móvel e pede duas coisas:
Obter T(\gamma(t)) (ou seja, compor T com a curva \gamma) e calcular \dfrac{d}{dt}\big[T(\gamma(t))\big] no instante t=\dfrac{\pi}{3} usando a Regra da Cadeia via \nabla T e \gamma'(t).
Interpretar o sinal dessa derivada no instante dado e explicar por que ela representa a derivada direcional de T ao longo da curva percorrida.
Informações fornecidas:
T(x,y)=3x^{2}-2xy+y^{2},
\gamma(t)=(3\cos t,\;3\sin t).
Passo 2
Primeiro vamos compor T com \gamma para obter T(\gamma(t)). Substituímos x=3\cos t e y=3\sin t em T(x,y):
E como \dfrac{d}{dt}T(\gamma(t))=\|\gamma'\|\,D_{\mathbf{u}}T, obtemos de novo 9-9\sqrt{3}.
Passo 9
Interpretação do sinal (didática e intencionalmente clara e curta):
Note que 9-9\sqrt{3}=9(1-\sqrt{3}) é negativo porque \sqrt{3}>1. Numericamente é aproximadamente -6{,}588.
Sinal negativo significa que, no instante t=\dfrac{\pi}{3}, a temperatura ao longo da trajetória está diminuindo com o tempo: o ponto móvel experimenta uma queda de temperatura naquele instante.
Por que isso é a derivada direcional? Porque a Regra da Cadeia fornece \dfrac{d}{dt}T(\gamma(t))=\nabla T(\gamma(t))\cdot\gamma'(t). O produto escalar entre \nabla T e a velocidade \gamma' mede a componente da taxa de variação de T na direção em que o ponto está se movendo. Se esse produto é negativo, a componente do movimento está na direção de decréscimo de T; se fosse positivo, estaria subindo; se fosse zero, não haveria variação instantânea.
Resposta
(a) T(\gamma(t))=27\cos^{2}t-18\cos t\sin t+9\sin^{2}t,\quad \dfrac{d}{dt}\big[T(\gamma(t))\big]\Big|_{t=\frac{\pi}{3}}=9-9\sqrt{3}.
(b) O valor 9-9\sqrt{3} é negativo, portanto a temperatura está diminuindo naquele instante; isso representa a derivada direcional de T na direção da velocidade \gamma'(t) porque \dfrac{d}{dt}T(\gamma(t))=\nabla T(\gamma(t))\cdot\gamma'(t), que mede a taxa de variação de T ao longo da curva.