Questão 5: Resistências térmicas em série

Uma casca esférica metálica tem raio interno \mathrm{r}_{1}=0,010 \mathrm{~m} e raio externo \mathrm{r}_{2}=0,050 \mathrm{~m}. A superfície interna está a \mathrm{T}_{1}=150^{\circ} \mathrm{C}. 0 conjunto está imerso em ar a \mathrm{T}^{\circ}=25^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente de convecção h=40 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}\right). A condutividade térmica do metal é \mathrm{k}=50 \mathrm{W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}).
Em regime estacionário, determine:
a) A taxa de transferência de calor \dot{\mathrm{Q}}.
b) A temperatura da superfície externa Ts.

Passo 1

O enunciado dá uma casca esférica metálica com os seguintes dados (vou listar tudo em forma bem direta para não nos perdermos):
r_1=0,010\\ \mathrm{m},\qquad r_2=0,050\\ \mathrm{m},
T_1=150^\circ\mathrm{C},\qquad T_\infty=25^\circ\mathrm{C},
h=40\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{K}),\qquad k=50\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}).
As perguntas são:
a) Determinar a taxa de transferência de calor \dot{Q} em regime estacionário.
b) Determinar a temperatura da superfície externa T_s.

Passo 2

Escolha do método: o calor sai do interior pela superfície interna, atravessa a parede esférica por condução radial e, na superfície externa, é convectado para o ar. Isso é exatamente um problema de resistências térmicas em série (uma resistência de condução radial na casca esférica + uma resistência de convecção na superfície externa). Vou usar esse método porque é o mais direto e padrão para cascas esféricas com convecção externa.

Passo 3

Aula rápida sobre condução radial em casca esférica (fórmula e derivação curta):
  • Em regime estacionário, a taxa de calor radial \dot{Q} é constante com r. Na coordenada radial a área é A(r)=4\pi r^{2}.
  • A lei de Fourier para condução radial dá \dot{Q}=-k A(r)\,\dfrac{dT}{dr}.
  • Substituindo A(r)=4\pi r^{2} e separando variáveis:
\dot{Q} = -4\pi k r^{2}\frac{dT}{dr} \quad\Rightarrow\quad \frac{dT}{dr} = -\frac{\dot{Q}}{4\pi k}\frac{1}{r^{2}}.
  • Integrando de r_1 a r_2 (e de T_1 a T_s, sendo T_s temperatura na superfície externa):
\int_{T_1}^{T_s} dT = -\frac{\dot{Q}}{4\pi k}\int_{r_1}^{r_2}\frac{dr}{r^{2}}
T_s-T_1 = -\frac{\dot{Q}}{4\pi k}\Big(-\frac{1}{r}\Big|_{r_1}^{r_2}\Big) = -\frac{\dot{Q}}{4\pi k}\Big(-\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_1}\Big)
T_1-T_s = \frac{\dot{Q}}{4\pi k}\Big(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\Big).
  • Dessa relação definimos a resistência de condução radial da casca esférica:
R_{\mathrm{cond}}=\frac{1}{4\pi k}\Big(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\Big),
tal que \dot{Q}=(T_1-T_s)/R_{\mathrm{cond}}.

Passo 4

Aula rápida sobre convecção na superfície externa:
  • A resistência térmica de convecção na superfície externa é
R_{\mathrm{conv}}=\frac{1}{hA_s},
onde A_s é a área da superfície externa. Para a esfera:
A_s = 4\pi r_2^{2}.
  • Logo:
R_{\mathrm{conv}}=\frac{1}{h\,4\pi r_2^{2}}.

Passo 5

Montagem do circuito térmico em série:
  • O calor passa por R_{\mathrm{cond}} e depois por R_{\mathrm{conv}}, portanto a resistência total entre T_1 e T_\infty é
R_{\mathrm{tot}} = R_{\mathrm{cond}} + R_{\mathrm{conv}}.
  • A taxa de calor é dada por
\dot{Q}=\frac{T_1-T_\infty}{R_{\mathrm{tot}}}.
  • A temperatura da superfície externa pode ser obtida por exemplo por
T_s = T_\infty + \dot{Q}\,R_{\mathrm{conv}}
ou por
T_s = T_1 - \dot{Q}\,R_{\mathrm{cond}}.

Passo 6

Cálculo numérico de R_{\mathrm{cond}}:
  • Primeiro calcule \dfrac{1}{r_1} e \dfrac{1}{r_2}:
\frac{1}{r_1}=\frac{1}{0,010}=100\\ \mathrm{m}^{-1},\qquad \frac{1}{r_2}=\frac{1}{0,050}=20\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • Diferença:
\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}=100-20=80\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • Agora
R_{\mathrm{cond}}=\frac{1}{4\pi k}\Big(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\Big) =\frac{80}{4\pi\cdot 50}.
  • Simplificando:
R_{\mathrm{cond}}=\frac{80}{200\pi}=\frac{0,4}{\pi}\\ \mathrm{K/W}.
  • Valor numérico aproximado (usando \pi\approx3,1416):
R_{\mathrm{cond}}\approx\frac{0,4}{3,1416}\approx0,1273\\ \mathrm{K/W}.

Passo 7

Cálculo numérico de R_{\mathrm{conv}}:
  • Área externa:
A_s=4\pi r_2^{2}=4\pi(0,050)^{2}=4\pi\cdot 0,0025=0,01\pi\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Resistência de convecção:
R_{\mathrm{conv}}=\frac{1}{h\,A_s}=\frac{1}{40\cdot 0,01\pi}=\frac{1}{0,4\pi}=\frac{2,5}{\pi}\\ \mathrm{K/W}.
  • Valor numérico:
R_{\mathrm{conv}}\approx\frac{2,5}{3,1416}\approx0,7958\\ \mathrm{K/W}.

Passo 8

Resistência total e cálculo de \dot{Q}:
  • Soma:
R_{\mathrm{tot}}=R_{\mathrm{cond}}+R_{\mathrm{conv}}=\frac{0,4}{\pi}+\frac{2,5}{\pi}=\frac{2,9}{\pi}\\ \mathrm{K/W}.
  • Valor numérico:
R_{\mathrm{tot}}\approx0,1273+0,7958\approx0,9231\\ \mathrm{K/W}.
  • Diferença de temperatura:
T_1-T_\infty=150^\circ\mathrm{C}-25^\circ\mathrm{C}=125\\ \mathrm{K}.
  • Portanto:
\dot{Q}=\frac{T_1-T_\infty}{R_{\mathrm{tot}}}=\frac{125}{2,9/\pi}=\frac{125\pi}{2,9}\\ \mathrm{W}.
  • Valor numérico:
\dot{Q}\approx135,4\\ \mathrm{W}.

Passo 9

Cálculo da temperatura da superfície externa T_s:
  • Uso a forma T_s=T_\infty+\dot{Q}\,R_{\mathrm{conv}}. Como vimos, \dot{Q}=\dfrac{125\pi}{2,9} e R_{\mathrm{conv}}=\dfrac{2,5}{\pi}. Multiplicando:
\dot{Q}\,R_{\mathrm{conv}}=\frac{125\pi}{2,9}\cdot\frac{2,5}{\pi}=\frac{125\cdot 2,5}{2,9}=\frac{312,5}{2,9}.
  • Valor numérico:
\dot{Q}\,R_{\mathrm{conv}}\approx107,7586\\ \mathrm{K}.
  • Portanto:
T_s=T_\infty+\dot{Q}\,R_{\mathrm{conv}}=25^\circ\mathrm{C}+107,7586^\circ\mathrm{C}\approx132,8^\circ\mathrm{C}.
  • Observação de consistência: usando T_s=T_1-\dot{Q}\,R_{\mathrm{cond}} dá o mesmo resultado (checa interna).

Resposta

a) \dot{Q}\approx135,4\\ \mathrm{W}
b) T_s\approx132,8^\circ\mathrm{C}

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