Uma casca esférica metálica tem raio interno \mathrm{r}_{1}=0,010 \mathrm{~m} e raio externo \mathrm{r}_{2}=0,050 \mathrm{~m}. A superfície interna está a \mathrm{T}_{1}=150^{\circ} \mathrm{C}. 0 conjunto está imerso em ar a \mathrm{T}^{\circ}=25^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente de convecção h=40 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}\right). A condutividade térmica do metal é \mathrm{k}=50 \mathrm{W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}).
Em regime estacionário, determine:
a) A taxa de transferência de calor \dot{\mathrm{Q}}.
b) A temperatura da superfície externa Ts.
Passo 1
O enunciado dá uma casca esférica metálica com os seguintes dados (vou listar tudo em forma bem direta para não nos perdermos):
As perguntas são:
a) Determinar a taxa de transferência de calor \dot{Q} em regime estacionário.
b) Determinar a temperatura da superfície externa T_s.
Passo 2
Escolha do método: o calor sai do interior pela superfície interna, atravessa a parede esférica por condução radial e, na superfície externa, é convectado para o ar. Isso é exatamente um problema de resistências térmicas em série (uma resistência de condução radial na casca esférica + uma resistência de convecção na superfície externa). Vou usar esse método porque é o mais direto e padrão para cascas esféricas com convecção externa.
Passo 3
Aula rápida sobre condução radial em casca esférica (fórmula e derivação curta):
Em regime estacionário, a taxa de calor radial \dot{Q} é constante com r. Na coordenada radial a área é A(r)=4\pi r^{2}.
A lei de Fourier para condução radial dá \dot{Q}=-k A(r)\,\dfrac{dT}{dr}.
Substituindo A(r)=4\pi r^{2} e separando variáveis:
\dot{Q} = -4\pi k r^{2}\frac{dT}{dr} \quad\Rightarrow\quad \frac{dT}{dr} = -\frac{\dot{Q}}{4\pi k}\frac{1}{r^{2}}.
Integrando de r_1 a r_2 (e de T_1 a T_s, sendo T_s temperatura na superfície externa):