Questão 4: Resistências térmicas em série

Um tubo metálico cilíndrico oco tem comprimento \mathrm{L}=0,50 \mathrm{~m}, raio interno \mathrm{r}_{1}=0,020 \mathrm{~m} e raio externo \mathrm{r}_{2}=0,050 \mathrm{~m}. A superfície interna está a \mathrm{T}_{1}=200^{\circ} \mathrm{C}. 0 tubo está exposto ao ar ambiente a \mathrm{T} \infty=25^{\circ} \mathrm{C} com coeficiente de convecção \mathrm{h}=25 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}\right). A condutividade térmica do metal é \mathrm{k}=15 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}).
Em regime estacionário, determine:
a) A taxa de transferência de calor \dot{Q} através da parede.
b) A temperatura da superfície externa Ts.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) a taxa de transferência de calor em regime estacionário através da parede do tubo, e (b) a temperatura da superfície externa T_s.\n
Dados fornecidos (vou listar exatamente os valores que temos):
L=0,50\\ \mathrm{m}
r_1=0,020\\ \mathrm{m}
r_2=0,050\\ \mathrm{m}
T_1=200^\circ\mathrm{C}
T_\infty=25^\circ\mathrm{C}
h=25\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}
k=15\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}
A meta é achar \dot{Q} e T_s usando essas informações.

Passo 2

Modelo físico e equações básicas (explicação didática): em regime estacionário o fluxo de calor sai da superfície interna a \,T_1, atravessa a parede cilíndrica por condução radial e, na superfície externa, é entregue ao ar por convecção até T_\infty. Essas duas etapas estão em série, então o fluxo térmico é dado por
\dot{Q}=\frac{T_1-T_\infty}{R_\text{cond}+R_\text{conv}}.
Aqui R_\text{cond} é a resistência térmica da parede por condução radial (por unidade total) e R_\text{conv} é a resistência por convecção na superfície externa. Vou derivar e explicar cada resistência.
Derivação da resistência de condução para um cilindro oco (passo a passo):
  • A lei de Fourier para condução radial em coordenadas cilíndricas, em regime estacionário e fluxo radial uniforme, dá a relação diferencial entre fluxo e gradiente de temperatura:
\dot{Q} = -k A_r \frac{dT}{dr},
onde a área que transporta calor a uma distância r do eixo é A_r=2\pi r L. Reescrevendo:
\frac{dT}{dr} = -\frac{\dot{Q}}{2\pi k L}\cdot\frac{1}{r}.
  • Integrando de r_1 (onde a temperatura é \,T_1) até r_2 (onde a temperatura é a T_s, a superfície externa), obtemos:
T_1 - T_s = \frac{\dot{Q}}{2\pi k L}\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right).
Isso tem a forma \Delta T = \dot{Q}\,R_\text{cond}, portanto a resistência de condução é
R_\text{cond}=\frac{1}{2\pi k L}\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right).
Explicação de cada termo: \ln(r_2/r_1) vem da integração de 1/r, k é a condutividade que reduz a resistência (maior k → menor resistência), e 2\pi L vem da área circular envolvida.
Resistência de convecção na superfície externa:
  • A convecção linear (resistência tipo superfície) é dada por
R_\text{conv}=\frac{1}{h A_s},
onde A_s é a área de troca do lado externo, A_s=2\pi r_2 L. Intuição: quanto maior h ou a área, menor a resistência convectiva.

Passo 3

Calcular numericamente as resistências (faça as contas como na prova, sem pular passos):
Calcular \ln(r_2/r_1):
\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right)=\ln\!\left(\frac{0,050}{0,020}\right)=\ln(2,5)=0,91629\\ (\text{aprox.})
Calcular o denominador de R_\text{cond}:
2\pi k L = 2\pi\cdot 15\cdot 0,50 = 15\pi \approx 47,124.
Logo
R_\text{cond}=\frac{0,91629}{47,124}\approx 0,01945\\ \mathrm{K/W}.
Agora R_\text{conv}:
A_s=2\pi r_2 L = 2\pi\cdot 0,050\cdot 0,50 = 0,15708\\ \mathrm{m^2}.
hA_s = 25\cdot 0,15708 = 3,92699\\ \mathrm{W/K}.
R_\text{conv}=\frac{1}{hA_s}=\frac{1}{3,92699}\approx 0,25465\\ \mathrm{K/W}.
Somando as resistências:
R_\text{total}=R_\text{cond}+R_\text{conv}\approx 0,01945+0,25465=0,27410\\ \mathrm{K/W}.

Passo 4

Calcular a taxa de transferência de calor \dot{Q}:
Diferença de temperatura:
T_1-T_\infty = 200-25 = 175\\ \mathrm{K}.
Aplicando a lei das resistências em série:
\dot{Q}=\frac{T_1-T_\infty}{R_\text{total}}=\frac{175}{0,27410}\approx 638,6\\ \mathrm{W}.
Interpretação rápida: a resistência convectiva domina (é muito maior que a condutiva), por isso a potência é limitada principalmente por h e pela área externa.

Passo 5

Calcular a temperatura da superfície externa T_s. Podemos usar qualquer uma das duas relações em série; uso a relação com R_\text{conv}:
T_s = T_\infty + \dot{Q}\,R_\text{conv}.
Substituindo os valores:
T_s = 25 + 638,6\cdot 0,25465 \approx 25 + 162,6 = 187,6^\circ\mathrm{C}.
Verificação alternativa (consistência): usar T_s=T_1-\dot{Q}R_\text{cond}:
T_s \approx 200 - 638,6\cdot 0,01945 \approx 200 - 12,4 = 187,6^\circ\mathrm{C},
mesmo resultado (bom sinal de que as contas estão corretas).

Passo 6

Resumo final e um empurrão amigo: concluímos que a maior queda térmica ocorre entre a superfície externa e o ar (resistência convectiva). Em prova, memorize a forma de R_\text{cond} para cilindros e calcule sempre as áreas externas com cuidado. Você foi bem — respira fundo e segue estudando!

Resposta

\dot{Q}=638,6\\ \mathrm{W}
\mathrm{T_s}=187,6^\circ\mathrm{C}

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