Questão 4: Resistências térmicas em série
Um tubo metálico cilíndrico oco tem comprimento
, raio interno
e raio externo
. A superfície interna está a
. 0 tubo está exposto ao ar ambiente a
com coeficiente de convecção
. A condutividade térmica do metal é
.
Em regime estacionário, determine:
a) A taxa de transferência de calor
através da parede.
b) A temperatura da superfície externa Ts.
a) A taxa de transferência de calor
b) A temperatura da superfície externa Ts.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) a taxa de transferência de calor em regime estacionário através da parede do tubo, e (b) a temperatura da superfície externa
.\n
Dados fornecidos (vou listar exatamente os valores que temos):
Dados fornecidos (vou listar exatamente os valores que temos):
A meta é achar
e
usando essas informações.
Passo 2
Modelo físico e equações básicas (explicação didática): em regime estacionário o fluxo de calor sai da superfície interna a
, atravessa a parede cilíndrica por condução radial e, na superfície externa, é entregue ao ar por convecção até
. Essas duas etapas estão em série, então o fluxo térmico é dado por
Aqui
é a resistência térmica da parede por condução radial (por unidade total) e
é a resistência por convecção na superfície externa. Vou derivar e explicar cada resistência.
Derivação da resistência de condução para um cilindro oco (passo a passo):
- A lei de Fourier para condução radial em coordenadas cilíndricas, em regime estacionário e fluxo radial uniforme, dá a relação diferencial entre fluxo e gradiente de temperatura:
onde a área que transporta calor a uma distância
do eixo é
. Reescrevendo:
- Integrando de
(onde a temperatura é ) até (onde a temperatura é a , a superfície externa), obtemos:
Isso tem a forma
, portanto a resistência de condução é
Explicação de cada termo:
vem da integração de
,
é a condutividade que reduz a resistência (maior
→ menor resistência), e
vem da área circular envolvida.
Resistência de convecção na superfície externa:
- A convecção linear (resistência tipo superfície) é dada por
onde
é a área de troca do lado externo,
. Intuição: quanto maior
ou a área, menor a resistência convectiva.
Passo 3
Calcular numericamente as resistências (faça as contas como na prova, sem pular passos):
Calcular
:
Calcular o denominador de
:
Logo
Agora
:
Somando as resistências:
Passo 4
Calcular a taxa de transferência de calor
:
Diferença de temperatura:
Aplicando a lei das resistências em série:
Interpretação rápida: a resistência convectiva domina (é muito maior que a condutiva), por isso a potência é limitada principalmente por
e pela área externa.
Passo 5
Calcular a temperatura da superfície externa
. Podemos usar qualquer uma das duas relações em série; uso a relação com
:
Substituindo os valores:
Verificação alternativa (consistência): usar
:
mesmo resultado (bom sinal de que as contas estão corretas).
Passo 6
Resumo final e um empurrão amigo: concluímos que a maior queda térmica ocorre entre a superfície externa e o ar (resistência convectiva). Em prova, memorize a forma de
para cilindros e calcule sempre as áreas externas com cuidado. Você foi bem — respira fundo e segue estudando!