Questão 6

Resolva a inequação \operatorname{tg} x \geq 1 para x \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede: resolver a inequação \operatorname{tg} x \geq 1 para x\in\mathbb{R}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado (que vamos usar depois):
  • A função tangente está envolvida: \operatorname{tg} x.
  • Devemos considerar todos os x reais onde a tangente está definida; ou seja, devemos lembrar que \operatorname{tg} x não está definida quando \cos x=0, isto é, em x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}.
  • O objetivo é encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem \operatorname{tg} x \geq 1.

Passo 2

Lembretes sobre \operatorname{tg} x (aulas rápidas, sem pânico):
  • Definição: \operatorname{tg} x=\dfrac{\sin x}{\cos x} sempre que \cos x\neq 0.
  • Período: \operatorname{tg}(x+\pi)=\operatorname{tg} x. Ou seja, a tangente tem período \pi.
  • Assíntotas e intervalos naturais: a tangente tem assíntotas verticais em x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi. Entre duas assíntotas consecutivas, por exemplo no intervalo aberto \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right), a função \operatorname{tg} x é contínua e estritamente crescente e varia de -\infty até +\infty. O mesmo vale para cada intervalo \left(-\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right).

Passo 3

Resolver a equação associada \operatorname{tg} x = 1 (passo útil para a inequação):
  • Na prática geométrica/ trigonométrica, \operatorname{tg} x = 1 ocorre em x=\dfrac{\pi}{4} no primeiro quadrante, porque \sin x=\cos x ali.
  • Pela periodicidade, as soluções gerais são
x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Resolver a inequação usando monotonicidade em cada intervalo entre assíntotas:
  • Fixe um k\in\mathbb{Z} e considere o intervalo fundamental
\left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\\ \frac{\pi}{2}+k\pi\right).
Nesse intervalo \operatorname{tg} x é contínua, estritamente crescente e passa pelo valor 1 em x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi.
  • Como a função cresce de -\infty a +\infty nesse intervalo, a condição \operatorname{tg} x\ge 1 corresponde exatamente aos pontos a partir de onde a tangente atinge 1 até o limite à direita do intervalo. Ou seja, para esse k os x que funcionam são
x\in\left[\frac{\pi}{4}+k\pi,\\ \frac{\pi}{2}+k\pi\right).
Explicações sobre inclusão/exclusão:
  • O extremo esquerdo \dfrac{\pi}{4}+k\pi é incluído porque aí \operatorname{tg} x=1 (igualdade permitida).
  • O extremo direito \dfrac{\pi}{2}+k\pi não pode ser incluído porque \operatorname{tg} x não está definida ali (assíntota).

Passo 5

Juntando todos os intervalos para todos os inteiros k, a solução geral da inequação é a união desses arcos:
\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left[\frac{\pi}{4}+k\pi,\\ \frac{\pi}{2}+k\pi\right).
Como checagem rápida: por exemplo \displaystyle x=\frac{\pi}{3} (que é >\frac{\pi}{4} e <\frac{\pi}{2}) tem \operatorname{tg}\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\approx1{,}732\ge1, então está na solução; já x=0 tem \operatorname{tg}0=0<1, logo não está.

Resposta

\displaystyle \bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left[\frac{\pi}{4}+k\pi,\\ \frac{\pi}{2}+k\pi\right)

Exercícios relacionados