Questão 6
Resolva a inequação
para
.
Passo 1
O enunciado pede: resolver a inequação
para
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado (que vamos usar depois):
- A função tangente está envolvida:
. - Devemos considerar todos os
reais onde a tangente está definida; ou seja, devemos lembrar que não está definida quando , isto é, em , . - O objetivo é encontrar todos os
que satisfazem .
Passo 2
Lembretes sobre
(aulas rápidas, sem pânico):
- Definição:
sempre que . - Período:
. Ou seja, a tangente tem período . - Assíntotas e intervalos naturais: a tangente tem assíntotas verticais em
. Entre duas assíntotas consecutivas, por exemplo no intervalo aberto , a função é contínua e estritamente crescente e varia de até . O mesmo vale para cada intervalo .
Passo 3
Resolver a equação associada
(passo útil para a inequação):
- Na prática geométrica/ trigonométrica,
ocorre em no primeiro quadrante, porque ali. - Pela periodicidade, as soluções gerais são
Passo 4
Resolver a inequação usando monotonicidade em cada intervalo entre assíntotas:
- Fixe um
e considere o intervalo fundamental
Nesse intervalo
é contínua, estritamente crescente e passa pelo valor
em
.
- Como a função cresce de
a nesse intervalo, a condição corresponde exatamente aos pontos a partir de onde a tangente atinge até o limite à direita do intervalo. Ou seja, para esse os que funcionam são
Explicações sobre inclusão/exclusão:
- O extremo esquerdo
é incluído porque aí (igualdade permitida). - O extremo direito
não pode ser incluído porque não está definida ali (assíntota).
Passo 5
Juntando todos os intervalos para todos os inteiros
, a solução geral da inequação é a união desses arcos:
Como checagem rápida: por exemplo
(que é
e
) tem
, então está na solução; já
tem
, logo não está.