Questão 8
Determine o valor real de
tal que
. Justifique sua resposta com base na definição da função inversa.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o valor real de
tal que
Informações dadas:
- O número dentro da função inversa é
. - A função
é a função inversa do seno (isto será usado na justificativa).
Passo 2
Definição e propriedade que vamos usar (explicada com calma):
- A função seno,
, não é bijetiva em todo (vários diferentes podem ter o mesmo ). Para ter inversa precisamos restringir o domínio. - Por convenção, a função
é restrita ao intervalo para definir a sua inversa principal. Assim, a função
é bijetiva e tem inversa
- Isso significa que, para qualquer
, é o único número em tal que .
Passo 3
Encontrar um ângulo cuja seno seja
:
- Conhecimento trigonométrico padrão (pode ser lembrado pelo triângulo
): num triângulo retângulo com ângulos e e hipotenusa , o cateto oposto a tem comprimento . Portanto
- Assim
é um ângulo (em radianos) cujo seno é .
Passo 4
Verificar que
pertence ao intervalo principal da
:
- Temos
e , portanto
- Como
retorna o único valor no intervalo cujo seno é o número dado, e satisfaz , concluímos que a deve devolver .
Passo 5
Observação sobre outras soluções (para compreender a escolha):
- A equação
tem soluções infinitas, por exemplo
- Porém, pela definição de
(intervalo principal), apenas a solução que pertence a é aceita como valor de . Dessas soluções, somente está nesse intervalo.