Questão 8

Determine o valor real de \alpha tal que \alpha=\operatorname{arcsen}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right). Justifique sua resposta com base na definição da função inversa.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor real de \alpha tal que
\alpha=\operatorname{arcsen}\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right).
Informações dadas:
  • O número dentro da função inversa é \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • A função \operatorname{arcsen} é a função inversa do seno (isto será usado na justificativa).

Passo 2

Definição e propriedade que vamos usar (explicada com calma):
  • A função seno, \sin x, não é bijetiva em todo \mathbb{R} (vários x diferentes podem ter o mesmo \sin x). Para ter inversa precisamos restringir o domínio.
  • Por convenção, a função \sin x é restrita ao intervalo \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] para definir a sua inversa principal. Assim, a função
\sin:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to[-1,1]
é bijetiva e tem inversa
\operatorname{arcsen}:[-1,1]\to\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].
  • Isso significa que, para qualquer y\in[-1,1], \alpha=\operatorname{arcsen}(y) é o único número \alpha em \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] tal que \sin(\alpha)=y.

Passo 3

Encontrar um ângulo cuja seno seja \dfrac{\sqrt{3}}{2}:
  • Conhecimento trigonométrico padrão (pode ser lembrado pelo triângulo 30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ): num triângulo retângulo com ângulos 30^\circ e 60^\circ e hipotenusa 1, o cateto oposto a 60^\circ tem comprimento \dfrac{\sqrt{3}}{2}. Portanto
\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
  • Assim \dfrac{\pi}{3} é um ângulo (em radianos) cujo seno é \dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Verificar que \dfrac{\pi}{3} pertence ao intervalo principal da \operatorname{arcsen}:
  • Temos \dfrac{\pi}{3}\approx 1{,}047 e \dfrac{\pi}{2}\approx 1{,}571, portanto
\frac{\pi}{3}\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].
  • Como \operatorname{arcsen} retorna o único valor no intervalo \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] cujo seno é o número dado, e \dfrac{\pi}{3} satisfaz \sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, concluímos que a \operatorname{arcsen} deve devolver \dfrac{\pi}{3}.

Passo 5

Observação sobre outras soluções (para compreender a escolha):
  • A equação \sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2} tem soluções infinitas, por exemplo
x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\quad\text{ou}\quad x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • Porém, pela definição de \operatorname{arcsen} (intervalo principal), apenas a solução que pertence a \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] é aceita como valor de \operatorname{arcsen}. Dessas soluções, somente \dfrac{\pi}{3} está nesse intervalo.

Resposta

\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{3}
\displaystyle \alpha=60^\circ

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