Questão 5: Resolva as inequações:
1x-1 <=-1

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos resolver a inequação 1x-1 <= -1. O conteúdo aqui é inequações racionais e vamos precisar determinar o domínio da expressão, juntar todos os termos em uma única fração e fazer análise de sinais.

Passo 2

Identificar o domínio: a expressão 1x-1 só existe se o denominador for diferente de zero. Logo, x-1 neq 0 implica x neq 1.

Passo 3

Transformar a inequação em uma única fração: passamos o -1 para o lado esquerdo e somamos as frações.
[\frac{1}{x-1} + 1 \le 0]
Como 1 = x-1x-1, temos
[\frac{1}{x-1} + \frac{x-1}{x-1} \le 0]
Simplificando o numerador, obtemos
[\frac{x}{x-1} \le 0]

Passo 4

Identificar os pontos críticos e fazer a análise de sinais: fechamos em um único quociente xx-1. Os pontos críticos são onde o numerador ou denominador se anulam, isto é, x=0 (numerador) e x=1 (denominador). Agora testamos cada intervalo:
  • Em ( -infty,0 ), escolha x=-1: numerador negativo, denominador negativo → quociente positivo (não satisfaz).
  • Em (0,1), escolha x=tfrac12: numerador positivo, denominador negativo → quociente negativo (satisfaz).
  • Em (1,infty), escolha x=2: numerador positivo, denominador positivo → quociente positivo (não satisfaz).
    No ponto x=0 a fração vale zero (0 ≤ 0 satisfaz), e em x=1 a expressão não existe (excluído do domínio).

Resposta

[0,1)

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