Questão 5: Resolva as inequações:
Passo 1
Resumo do enunciado: precisamos resolver a inequação
. O conteúdo aqui é inequações racionais e vamos precisar determinar o domínio da expressão, juntar todos os termos em uma única fração e fazer análise de sinais.
Passo 2
Identificar o domínio: a expressão
só existe se o denominador for diferente de zero. Logo,
implica
.
Passo 3
Transformar a inequação em uma única fração: passamos o
para o lado esquerdo e somamos as frações.
[\frac{1}{x-1} + 1 \le 0]
Como , temos
[\frac{1}{x-1} + \frac{x-1}{x-1} \le 0]
Simplificando o numerador, obtemos
[\frac{x}{x-1} \le 0]
[\frac{1}{x-1} + 1 \le 0]
Como
[\frac{1}{x-1} + \frac{x-1}{x-1} \le 0]
Simplificando o numerador, obtemos
[\frac{x}{x-1} \le 0]
Passo 4
Identificar os pontos críticos e fazer a análise de sinais: fechamos em um único quociente
. Os pontos críticos são onde o numerador ou denominador se anulam, isto é,
(numerador) e
(denominador). Agora testamos cada intervalo:
- Em
, escolha : numerador negativo, denominador negativo → quociente positivo (não satisfaz). - Em
, escolha : numerador positivo, denominador negativo → quociente negativo (satisfaz). - Em
, escolha : numerador positivo, denominador positivo → quociente positivo (não satisfaz).
No pontoa fração vale zero (0 ≤ 0 satisfaz), e em a expressão não existe (excluído do domínio).
Resposta
[0,1)