Questão 1: Resolva as integrais das funções elementares a seguir.
\int \frac{3 \tan x-4 \cos ^{2} x}{\cos x} d x

Passo 1

Enunciado: calcular a integral indefinida
\int \frac{3 \tan x-4 \cos^{2} x}{\cos x}\,dx.
O que é pedido: encontrar uma primitiva — isto é, uma função F(x) tal que F'(x) seja o integrando acima.
Informações dadas: o integrando envolve as funções trigonométricas \tan x e \cos x, com uma divisão por \cos x. Não há outras condicionantes.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o integrando escrevendo tudo em termos de \sin x e \cos x. Lembre que \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Então
\frac{3 \tan x-4 \cos^{2} x}{\cos x} = \frac{3\frac{\sin x}{\cos x} - 4\cos^{2}x}{\cos x}.
Agora dividimos cada termo por \cos x:
\frac{3\frac{\sin x}{\cos x}}{\cos x} - \frac{4\cos^{2}x}{\cos x} = 3\frac{\sin x}{\cos^{2}x} - 4\cos x.
Portanto a integral vira
\int \left(3\frac{\sin x}{\cos^{2}x} - 4\cos x\right)\,dx.

Passo 3

Vamos identificar antiderivadas conhecidas. Duas regras úteis de derivação e integração que vamos usar:
  1. A derivada de \sin x é \cos x, logo \displaystyle\int \cos x\,dx=\sin x + C.
  2. A derivada de \operatorname{sec} x (onde \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}) é \operatorname{sec} x\tan x. Observe que
\operatorname{sec} x\tan x = \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\sin x}{\cos^{2}x}.
Logo \displaystyle\int \frac{\sin x}{\cos^{2}x}\,dx = \operatorname{sec} x + C.
Explicando a segunda: se f(x)=\operatorname{sec} x, então f'(x)=\operatorname{sec} x\tan x. Como conseguimos escrever \dfrac{\sin x}{\cos^{2}x} como \operatorname{sec} x\tan x, sabemos imediatamente que uma primitiva é \operatorname{sec} x.

Passo 4

Agora aplicamos essas observações termo a termo. Para o primeiro termo:
\int 3\frac{\sin x}{\cos^{2}x}\,dx = 3\int \frac{\sin x}{\cos^{2}x}\,dx.
Pelo comentário anterior,
\int \frac{\sin x}{\cos^{2}x}\,dx = \operatorname{sec} x + C,
portanto
3\int \frac{\sin x}{\cos^{2}x}\,dx = 3\operatorname{sec} x + C.
(Se preferir ver com substituição: faça u=\cos x, du=-\sin x\,dx, então \int \dfrac{\sin x}{\cos^{2}x}\,dx = -\int u^{-2}\,du = u^{-1} = \dfrac{1}{\cos x}.)

Passo 5

Para o segundo termo:
\int (-4\cos x)\,dx = -4\int \cos x\,dx = -4\sin x + C,
porque \int \cos x\,dx=\sin x.

Passo 6

Somando as primitivas dos dois termos (e juntando a constante de integração única), obtemos
\int \frac{3 \tan x-4 \cos^{2} x}{\cos x}\,dx = 3\operatorname{sec} x - 4\sin x + C.

Passo 7

Verificação rápida (para conforto): derivando 3\operatorname{sec} x - 4\sin x obtemos
3(\operatorname{sec} x\tan x) - 4\cos x = 3\frac{\sin x}{\cos^{2}x} - 4\cos x,
que é exatamente o integrando que tínhamos após a simplificação, então a primitiva está correta.

Resposta

3\operatorname{sec} x - 4\sin x + C

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