Questão 1: Resolva as integrais das funções elementares a seguir.
Passo 1
Enunciado: calcular a integral indefinida
O que é pedido: encontrar uma primitiva — isto é, uma função
tal que
seja o integrando acima.
Informações dadas: o integrando envolve as funções trigonométricas e
, com uma divisão por
. Não há outras condicionantes.
Informações dadas: o integrando envolve as funções trigonométricas
Passo 2
Primeiro, simplificamos o integrando escrevendo tudo em termos de
e
. Lembre que
. Então
Agora dividimos cada termo por
:
Portanto a integral vira
Passo 3
Vamos identificar antiderivadas conhecidas. Duas regras úteis de derivação e integração que vamos usar:
- A derivada de
é , logo . - A derivada de
(onde ) é . Observe que
Logo
.
Explicando a segunda: se
, então
. Como conseguimos escrever
como
, sabemos imediatamente que uma primitiva é
.
Passo 4
Agora aplicamos essas observações termo a termo. Para o primeiro termo:
Pelo comentário anterior,
portanto
(Se preferir ver com substituição: faça
,
, então
.)
Passo 5
Para o segundo termo:
porque
.
Passo 6
Somando as primitivas dos dois termos (e juntando a constante de integração única), obtemos
Passo 7
Verificação rápida (para conforto): derivando
obtemos
que é exatamente o integrando que tínhamos após a simplificação, então a primitiva está correta.