Resolva as integrais por meio do Método da Substituição.
\int \operatorname{sen}^{2}(3 x) \cos (3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}^{2}(3x)\cos(3x)\,dx
Informações dadas e observações importantes:
  • É uma integral indefinida (sem limites).
  • A função integranda é \operatorname{sen}^{2}(3x)\cos(3x).
  • A variável de integração é x.
  • O termo \cos(3x)\,dx aparece multiplicando uma função de \operatorname{sen}(3x), o que sugere que uma substituição envolvendo \operatorname{sen}(3x) pode ser apropriada.

Passo 2

Conceito do Método da Substituição (explicação didática):
A ideia é usar uma nova variável u para simplificar a integral quando a integranda é uma composição de funções. Se escolhermos
u = g(x),
então a diferencial du é
du = g'(x)\,dx.
Se a integral original tem um fator igual (ou proporcional) a g'(x)\,dx, podemos substituir e transformar a integral em uma em u, que costuma ser mais fácil. Em fórmulas:
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.
Aqui: f é a parte exterior da composição e g é a parte interior. O objetivo é identificar g(x) cuja derivada aparece (ou aparece multiplicada por constante) no integrando.

Passo 3

Escolha da substituição e cálculo de du:
Observando \operatorname{sen}^{2}(3x)\cos(3x), a função interior natural é \operatorname{sen}(3x), porque a derivada de \operatorname{sen}(3x) é \cos(3x) multiplicada por a constante 3. Então fazemos
u=\operatorname{sen}(3x).
Derivando ambos os lados em relação a x:
\frac{du}{dx}=3\cos(3x).
Isolando dx ou \cos(3x)\,dx, obtemos
du=3\cos(3x)\,dx\quad\Rightarrow\quad \cos(3x)\,dx=\frac{du}{3}.

Passo 4

Substituição na integral:
Agora substituímos \operatorname{sen}(3x)=u e \cos(3x)\,dx=\dfrac{du}{3} na integral original:
\int \operatorname{sen}^{2}(3x)\cos(3x)\,dx = \int u^{2}\cdot\frac{du}{3}.
Colocando a constante fora da integral:
\int u^{2}\cdot\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int u^{2}\,du.

Passo 5

Integral em u e antiderivada:
Agora calculamos a integral de u^{2}. A regra básica de potências diz que
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C\quad(\text{para }n\neq -1).
Aplicando com n=2:
\int u^{2}\,du=\frac{u^{3}}{3}+C.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{3} que estava fora:
\frac{1}{3}\cdot\frac{u^{3}}{3}=\frac{u^{3}}{9}+C.

Passo 6

Volta para a variável x (substituição inversa):
Lembrando que u=\operatorname{sen}(3x), substituímos de volta:
\frac{u^{3}}{9}+C=\frac{\operatorname{sen}^{3}(3x)}{9}+C.
Portanto a antiderivada encontrada é \dfrac{\operatorname{sen}^{3}(3x)}{9}+C.

Passo 7

Verificação rápida (diferenciação para conferir):
Para ter certeza, derivamos o resultado:
\frac{d}{dx}\left(\frac{\operatorname{sen}^{3}(3x)}{9}\right)=\frac{1}{9}\cdot 3\operatorname{sen}^{2}(3x)\cdot\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}(3x)\big).
Como \dfrac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}(3x)\big)=3\cos(3x), temos
\frac{1}{9}\cdot 3\operatorname{sen}^{2}(3x)\cdot 3\cos(3x)=\operatorname{sen}^{2}(3x)\cos(3x),
que é exatamente o integrando original. Verificação OK.

Resposta

\displaystyle \frac{\operatorname{sen}^{3}(3x)}{9}+C

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