Questão 1: Resolva as integrais das funções elementares a seguir.
\int\left(\frac{2}{x^{3}}+\frac{3}{x^{2}}+5\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função dada, isto é encontrar uma primitiva F(x) tal que F'(x) seja a função dentro da integral. A integral que precisamos resolver é
\int\left(\frac{2}{x^{3}}+\frac{3}{x^{2}}+5\right)\,dx.
Informações relevantes fornecidas: os termos da integranda são \frac{2}{x^{3}}, \frac{3}{x^{2}} e 5.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a integranda usando potências de x com expoentes negativos, porque isso facilita aplicar a regra básica de integração. Lembre-se que \frac{1}{x^{k}} = x^{-k}. Então
\frac{2}{x^{3}} = 2x^{-3},\qquad \frac{3}{x^{2}} = 3x^{-2},\qquad 5 = 5x^{0}.
Assim a integral fica
\int\left(2x^{-3}+3x^{-2}+5\right)\,dx.

Passo 3

Vou usar duas propriedades muito úteis:
  1. Linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem sair:
\int\big(a(x)+b(x)+c(x)\big)\,dx = \int a(x)\,dx + \int b(x)\,dx + \int c(x)\,dx.
  1. Regra da potência para integração: para todo n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Aqui x é a variável de integração e n é o expoente.

Passo 4

Aplicando a linearidade, separamos a integral em três integrais:
\int\left(2x^{-3}+3x^{-2}+5\right)\,dx = \int 2x^{-3}\,dx + \int 3x^{-2}\,dx + \int 5\,dx.

Passo 5

Agora integramos cada termo usando a regra da potência e a propriedade de fator constante.
Termo 1: \displaystyle \int 2x^{-3}\,dx.
  • O fator constante 2 sai da integral: \displaystyle 2\int x^{-3}\,dx.
  • Aplicando a regra da potência com n=-3: \displaystyle \int x^{-3}\,dx = \frac{x^{-2}}{-2}.
  • Multiplicando pelo 2: \displaystyle 2\cdot\frac{x^{-2}}{-2} = -x^{-2}.
  • Reescrevendo em forma de fração: -x^{-2} = -\frac{1}{x^{2}}.
Termo 2: \displaystyle \int 3x^{-2}\,dx.
  • O fator constante 3 sai: \displaystyle 3\int x^{-2}\,dx.
  • Com n=-2: \displaystyle \int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1}.
  • Multiplicando pelo 3: \displaystyle 3\cdot(-x^{-1}) = -3x^{-1}.
  • Em fração: -3x^{-1} = -\frac{3}{x}.
Termo 3: \displaystyle \int 5\,dx.
  • 5 é constante, a primitiva é 5x (pois a derivada de 5x é 5).
  • Logo \displaystyle \int 5\,dx = 5x.

Passo 6

Somando as primitivas dos três termos e acrescentando a constante de integração C, obtemos a primitiva geral:
-\frac{1}{x^{2}}-\frac{3}{x}+5x + C.

Passo 7

Breve verificação (pra te deixar mais confiante): derivando o resultado devemos voltar à integranda.
  • Derivada de -\frac{1}{x^{2}} é -1)\cdot(-2)x^{-3} = 2x^{-3}.
  • Derivada de -\frac{3}{x} é -3)\cdot(-1)x^{-2} = 3x^{-2}.
  • Derivada de 5x é 5.
    Somando: 2x^{-3}+3x^{-2}+5, que é exatamente a integranda. Tudo conferido!

Resposta

-\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{3}{x}+5x+C

Exercícios relacionados