Questão 1: Resolva as integrais das funções elementares a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes dadas:
- A integranda é a soma de duas funções elementares: a raiz cúbica de
e o inverso da raiz cúbica de . - Não foi dada restrição explícita sobre o domínio; como a raiz cúbica está bem definida para todos os reais, podemos trabalhar em
se tivermos potências negativas intermediárias.
Agora vamos transformar e integrar passo a passo.
Passo 2
Transformar radicais em potências para ficar mais confortável com a regra de integração. Lembre que
e
Portanto a integral fica
Passo 3
Lembrar a regra básica (regra da potência) para integrais: se
, então
onde
é a constante de integração. Aqui
é qualquer número real diferente de
. Explicando: a fórmula vem de inverter a operação de diferenciação da função potência
(pois
), por isso dividimos por
.
Passo 4
Aplicar a regra da potência ao primeiro termo
. Aqui
, então
e
Expliquei cada passo: somei os expoentes e inverti a fração para dividir por
.
Passo 5
Aplicar a regra ao segundo termo
. Aqui
, então
e
Passo 6
Somar as duas integrais (podemos juntar as constantes em uma só
). Assim a primitiva da integranda é
Verificação rápida por diferenciação (para ficar seguro): derivando
portanto a derivada da soma é
, que é exatamente a integranda. Tudo confere.