Questão 1: Resolva as integrais das funções elementares a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função dada:
.
Informações relevantes: a integranda é a diferença de duas potências de , sendo os expoentes
e
. A resposta deve ser uma primitiva (ou seja, uma família de funções) acrescida de uma constante de integração
.
Informações relevantes: a integranda é a diferença de duas potências de
Passo 2
Regra que vamos usar: a integral é linear, ou seja
e
para constante . Aqui aplicamos a linearidade para separar a integral em duas integrais mais simples.
e
para constante
Passo 3
Regra principal para potências (regra do expoente/potência): para qualquer
,
Explicação: aumentamos o expoente em
e dividimos pelo novo expoente. O caso
é especial porque daria divisão por zero; nesse caso a primitiva é
.
Passo 4
Separe a integral aplicando a linearidade:
Passo 5
Aplique a regra do expoente ao primeiro termo com
.
Calcule .
Então
Calcule
Então
Observação:
, útil se quiseres reescrever em termos de raiz.
Passo 6
Aplique a regra ao segundo termo com
.
Calcule .
Então
Calcule
Então
Passo 7
Junte os resultados (subtraindo o segundo do primeiro) e una as constantes
e
numa única constante
:
Passo 8
Verificação rápida: derive a primitiva encontrada para checar se volta à integranda.
Derivando obtemos
.
Derivando obtemos
.
Somando dá , que é a integranda original — perfeito!
Derivando
Derivando
Somando dá