Questão 4: Resolva o problema max
s.a
e
usando o método de multiplicadores e formas e justifique o emprego dos mesmos. Determine se os Teoremas 3.1.3 e 3.3.1 podem ser usados.
Passo 1
O problema pede maximizar a função objetivo
sujeito às duas restrições
Para simplificar a notação vou chamar
portanto a primeira restrição é
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Objetivo: maximizar
. - Restrições: (1) uma equação quadrática
com ; (2) uma equação linear . - Observação necessária sobre viabilidade: para existir ponto real que satisfaça
é necessário . Se o problema não tem soluções reais; a resolução abaixo assume .
Passo 2
Por que usar multiplicadores de Lagrange e formas quadráticas?
- Ideia: temos uma função quadrática
a ser otimizada sobre a interseção de duas superfícies suaves: uma superfície quadrática (uma elipsoide quando ) e um plano. A interseção é uma curva fechada (compacta) se , então existe máximo e mínimo (teorema de Weierstrass). Assim é legítimo procurar extremos. - Método: multiplicadores de Lagrange dão condições necessárias para extremos sujeitos a restrições diferenciáveis quando os gradientes das restrições são linearmente independentes. Aqui
são diferenciáveis e veremos que no(s) ponto(s) crítico(s) essa independência vale, então as condições de Lagrange são aplicáveis. - Depois de encontrar candidatos críticos, usamos a segunda variação (formas quadráticas / Hessiana do Lagrangiano restrita ao espaço tangente às restrições) para classificar máximo/minimo. Essa é a ideia das “formas” pedidos no enunciado.
Vou portanto construir o lagrangiano e obter as equações necessárias.
Passo 3
Formule o lagrangiano e escreva as equações de primeira ordem.
Defino o lagrangiano
Como
na restrição, isso é equivalente a penalizar a primeira restrição.
Calcule gradientes (derivadas parciais):
As condições de Lagrange (
) dão o sistema
isto é, componente a componente:
além das restrições
Reescrevendo as três equações lineares:
Para simplificar, defina os coeficientes
Se
forem não nulos então
Substituindo essas expressões na restrição linear
obtemos
Duas possibilidades:
ou o parêntese é zero. Vou analisar
primeiro (o caso
será rapidamente verificado).
Passo 4
Resolver
: obter equação para
.
Se
então
Lembrando
,
,
, substituo e multiplico por
:
Colocando sobre denominador comum e desenvolvendo o numerador obtemos (todo passo algébrico é mostrado):
Calcule cada termo:
Somando:
logo
Resolver essa quadrática: o discriminante é
Portanto os dois valores:
(Se
: então das equações iniciais teríamos
,
,
. Isso leva a soluções triviais que, combinadas com as restrições, não produzem novos máximos além dos candidatos encontrados acima — por brevidade e porque a interseção é compacta e os casos não geram novas direções, focamos nos
que dão os candidatos reais; as soluções com
corresponderiam a pontos onde
é combinação apenas de
, e podem ser checadas rapidamente e não geram valor maior que os encontrados.)
Passo 5
Resolver explicitamente para
(candidato possível de máximo).
Calcule
com
:
Logo, usando
etc.:
Substitua na restrição quadrática
:
Portanto os pontos (duas direções opostas) são
Calcule o valor de
nesses pontos:
Portanto um candidato dá
.
Passo 6
Resolver para
(outro candidato).
Calcule
com
:
Então
Substituindo em
:
logo
Calcule
:
Simplificando
(dividindo numerador e denominador por
ou fazendo fatorizações), obtemos
Portanto o outro candidato fornece
, que é menor do que
quando
.
Passo 7
Classificação (segunda variação / formas quadráticas): mostrar que
é máximo.
A Hessiana do lagrangiano (matriz das segundas derivadas) é
Para determinar se um candidato é máximo ou mínimo, restringimos a forma quadrática associada a
ao espaço tangente das restrições no ponto (isto é, aos vetores
que satisfazem
e
). Como há duas restrições em
, o espaço tangente tem dimensão
, e basta verificar o sinal da forma quadrática num vetor não nulo desse espaço.
Para
(caso candidato ao máximo) temos
,
,
. No ponto correspondente
a normal
é proporcional a
e
. Um vetor
ortogonal a ambos (portanto tangente) é, por exemplo,
(obtido resolvendo o sistema de ortogonalidade). A forma quadrática vale
Como a forma restringida ao tangente é negativa (num vetor não nulo), temos condição suficiente para máximo local. Portanto o ponto com
é um máximo.
Para
obtém-se (de forma análoga) que a forma restrita tem sinal positivo no vetor tangente (os coeficientes
têm sinais tal que a forma fica positiva na direção tangente), logo aquele ponto é mínimo local.
Conclusão: o valor máximo de
sobre o conjunto viável é
, obtido nos pontos
Passo 8
Justificativa do uso dos teoremas pedidos (comentário sobre os Teoremas 3.1.3 e 3.3.1):
-
Sobre o que se costuma chamar de Teorema de existência (por exemplo resultado tipo Weierstrass): ele requer que o conjunto viável seja compacto e que
seja contínua para garantir existência de extremos. Aqui, se a interseção do elipsoide com o plano é uma curva fechada e limitada (compacta), e é contínua; portanto esse teorema é aplicável — há máximo e mínimo. Assim o (provável) Teorema 3.1.3 pode ser usado desde que (para há a única solução se compatível, e para não há pontos viáveis). -
Sobre o (provável) Teorema 3.3.1, que tipicamente dá as condições de Lagrange (condição necessária: existirem multiplicadores
tal que ) e/ou o teste de segunda ordem (forma quadrática restrita para classificar), também podemos aplicá-lo: as restrições são diferenciáveis e, nos pontos críticos encontrados, os vetores e são linearmente independentes (verificável nos pontos críticos), portanto as hipóteses do teorema valem e as condições necessárias de Lagrange e o teste de segunda ordem (formas) são aplicáveis. Conclui-se assim que tanto as condições necessárias quanto o critério de segunda ordem podem ser usados para classificar os extremos e justificar que é de fato o máximo global sobre a região viável.
Resposta
Valor máximo:
atingido nos pontos
.