Use o enunciado a seguir para responder as perguntas 6 a 9 :
Uma cultura de bactérias contém inicialmente 200 células e cresce a uma taxa proporcional a seu tamanho. Depois de meia hora a população aumentou para 360 células.
Quanto a população varia quando alcançamos 648 bactérias?
(a) 0
(b)
200 ⋅ e^{800}
(c)
ln (200) ⋅ 200^{2}
(d)
200 ⋅ 1,8^{4} ⋅ 2 ln (1,8)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
População inicial: P(0)=200 células.
A população cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho (ou seja, crescimento exponencial).
Depois de meia hora a população é P(0{,}5)=360.
A pergunta: “Quanto a população varia quando alcançamos 648 bactérias?” — isto é, pede a taxa de variação da população naquele instante, isto é o valor de \dfrac{dP}{dt} no momento em que P=648.
Passo 2
Modelo matemático e interpretação das constantes.
Quando a taxa é proporcional ao tamanho tem-se a equação diferencial
\frac{dP}{dt}=kP,
onde:
P(t) é a população no tempo t (em horas, se usarmos horas como unidade);
k é a constante de proporcionalidade (taxa de crescimento instantânea, em unidades de 1/hora).
A solução geral dessa equação (começando em t=0 com P(0)=P_0) é
P(t)=P_0 e^{kt}.
Aqui P_0=200.
Explicando intuitivamente: a equação diz que a velocidade de crescimento é sempre uma fração fixa da população atual; isso leva à solução exponencial onde a população multiplica-se por e^{kt} ao longo do tempo.
Passo 3
Determinar k usando o dado em t=0{,}5 (meia hora).
Mas de e^{0{,}5k}=1{,}8 segue que e^{k}=(e^{0{,}5k})^{2}=1{,}8^{2}=3{,}24. Então o tempo correspondente é t=1 hora (confirmando que em 1 hora chegamos a 648).
A expressão correta para a taxa é \;1296\ln(1{,}8)\;=\;648\cdot 2\ln(1{,}8)\;=\;200\cdot 1{,}8^{2}\cdot 2\ln(1{,}8).
Das alternativas dadas:
(d) apresenta a forma 200\cdot 1{,}8^{4}\cdot 2\ln(1{,}8), que difere por ter 1{,}8^{4} em vez de 1{,}8^{2}.
Logo, nenhuma das alternativas bate exatamente com a expressão correta como foi deduzida; a forma correta é com 1{,}8^{2}, não 1{,}8^{4}.