Use o enunciado a seguir para responder as perguntas 6 a 9 :
Uma cultura de bactérias contém inicialmente 200 células e cresce a uma taxa proporcional a seu tamanho. Depois de meia hora a população aumentou para 360 células.
Quanto a população varia quando alcançamos 648 bactérias?
(a) 0
(b)
200 ⋅ e^{800}
(c)
ln (200) ⋅ 200^{2}
(d)
200 ⋅ 1,8^{4} ⋅ 2 ln (1,8)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • População inicial: P(0)=200 células.
  • A população cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho (ou seja, crescimento exponencial).
  • Depois de meia hora a população é P(0{,}5)=360.
    A pergunta: “Quanto a população varia quando alcançamos 648 bactérias?” — isto é, pede a taxa de variação da população naquele instante, isto é o valor de \dfrac{dP}{dt} no momento em que P=648.

Passo 2

Modelo matemático e interpretação das constantes.
Quando a taxa é proporcional ao tamanho tem-se a equação diferencial
\frac{dP}{dt}=kP,
onde:
  • P(t) é a população no tempo t (em horas, se usarmos horas como unidade);
  • k é a constante de proporcionalidade (taxa de crescimento instantânea, em unidades de 1/hora).
A solução geral dessa equação (começando em t=0 com P(0)=P_0) é
P(t)=P_0 e^{kt}.
Aqui P_0=200.
Explicando intuitivamente: a equação diz que a velocidade de crescimento é sempre uma fração fixa da população atual; isso leva à solução exponencial onde a população multiplica-se por e^{kt} ao longo do tempo.

Passo 3

Determinar k usando o dado em t=0{,}5 (meia hora).
Temos
200 e^{k\cdot 0{,}5}=360.
Dividindo ambos os lados por 200,
e^{0{,}5k}= \frac{360}{200}=1{,}8.
Aplicando logaritmo natural,
0{,}5k=\ln(1{,}8)\quad\Rightarrow\quad k=2\ln(1{,}8).
Comentário: k é positivo porque a população aumentou. Observe que escrevemos todos os passos para poder usar k depois.

Passo 4

Fórmula da taxa de variação em qualquer tempo.
A partir da equação diferencial,
\frac{dP}{dt}=kP(t).
Isto significa que, para saber quanto a população varia num instante em que a população vale um certo valor P, basta multiplicar esse P por k.

Passo 5

Encontrar o instante em que P=648 e calcular \dfrac{dP}{dt} nesse instante.
Primeiro achar o tempo t tal que P(t)=648:
200 e^{kt}=648 \quad\Rightarrow\quad e^{kt}=\frac{648}{200}=3{,}24.
Mas de e^{0{,}5k}=1{,}8 segue que e^{k}=(e^{0{,}5k})^{2}=1{,}8^{2}=3{,}24. Então o tempo correspondente é t=1 hora (confirmando que em 1 hora chegamos a 648).
Agora a taxa naquele instante:
\frac{dP}{dt}\Big|_{P=648}=k\cdot 648 = \big(2\ln(1{,}8)\big)\cdot 648.
Podemos simplificar a expressão:
\frac{dP}{dt}\Big|_{P=648}=1296\ln(1{,}8).
Alternativamente, escrevendo em termos de P_0 e do fator 1{,}8:
1296\ln(1{,}8)=200\cdot 1{,}8^{2}\cdot 2\ln(1{,}8).
Se quiser um valor numérico aproximado,
1296\ln(1{,}8)\approx 1296\times 0{,}58779\approx 762{,}9
células por hora (aproximadamente).

Passo 6

Comparação com as alternativas fornecidas.
A expressão correta para a taxa é \;1296\ln(1{,}8)\;=\;648\cdot 2\ln(1{,}8)\;=\;200\cdot 1{,}8^{2}\cdot 2\ln(1{,}8).
Das alternativas dadas:
  • (d) apresenta a forma 200\cdot 1{,}8^{4}\cdot 2\ln(1{,}8), que difere por ter 1{,}8^{4} em vez de 1{,}8^{2}.
    Logo, nenhuma das alternativas bate exatamente com a expressão correta como foi deduzida; a forma correta é com 1{,}8^{2}, não 1{,}8^{4}.

Resposta

1296\ln(1{,}8)

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