Questão 4. Resolva o problema de valor inicial
.
Passo 1
O enunciado dá a equação das ondas unidimensional e as condições iniciais. Especificamente:
- A PDE é
. - Condição inicial de deslocamento:
. - Condição inicial de velocidade:
.
O que se pede: determinar explicitamente a solução
que satisfaz a PDE e essas condições iniciais para
(e
, presumivelmente).
Passo 2
Qual método usar e por quê (curtinho e prático). Para a equação da onda unidimensional com dados iniciais no tempo
e domínio todo em
, o método padrão e mais direto é a fórmula de d’Alembert. Ela dá a solução em função dos dados iniciais sem resolver PDEs complicadas — é exatamente o que queremos aqui porque só temos
e
.
Vou introduzir notação para os dados iniciais:
- Seja
. - Seja
.
A fórmula de d’Alembert (explicada a seguir) usa essas funções.
Passo 3
Enunciando e explicando a fórmula de d’Alembert (aula rápida):
- A fórmula de d’Alembert para a solução da equação
com dados e é
- Interpretação rápida: o primeiro termo é a média dos perfis
deslocados ao longo das características ; o segundo termo incorpora o efeito da velocidade inicial através de uma integral sobre o intervalo entre as características. Aqui é a velocidade de propagação, é o tempo, é a posição, e é a variável de integração.
Agora vamos aplicar essa fórmula com as funções
e
dadas.
Passo 4
Substituindo
e
na fórmula de d’Alembert (passo computacional):
- Substituição formal:
Aqui foi usada a definição
e
. A tarefa agora é avaliar a integral explicitamente.
Passo 5
Calcular a integral
passo a passo:
- Separar a integral:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
Calcular a diferença de quadrados:
Logo
- Somando os dois resultados:
- Agora multiplicar pelo fator
da fórmula:
Passo 6
Colocando as partes juntas (ainda evitando repetir a resposta final em bloco; aqui estão as duas contribuições que foram obtidas):
- A contribuição do deslocamento inicial (primeiro termo da d’Alembert) é
- A contribuição da velocidade inicial (segunda termo já avaliado) é
Passo 7
Verificação rápida das condições iniciais (checar para aumentar confiança):
- Em
: a contribuição logarítmica dá e o termo em zera, portanto (ok). - Derivando em
e avaliando em : a derivada temporal dos termos logarítmicos é proporcional a e contém , que se anula em ; o termo tem derivada . Assim (ok). Então os dados iniciais são satisfeitos.