Questão 4. Resolva o problema de valor inicial u_{t t}=c^{2} u_{x x}, u(x, 0)=\ln \left(1+x^{2}\right), u_{t}(x, 0)=4+x.

Passo 1

O enunciado dá a equação das ondas unidimensional e as condições iniciais. Especificamente:
  • A PDE é \;u_{t t}=c^{2}u_{x x}\;.
  • Condição inicial de deslocamento: \;u(x,0)=\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)\;.
  • Condição inicial de velocidade: \;u_{t}(x,0)=4+x\;.
O que se pede: determinar explicitamente a solução u(x,t) que satisfaz a PDE e essas condições iniciais para t\ge 0 (e x\in\mathbb{R}, presumivelmente).

Passo 2

Qual método usar e por quê (curtinho e prático). Para a equação da onda unidimensional com dados iniciais no tempo t=0 e domínio todo em x, o método padrão e mais direto é a fórmula de d’Alembert. Ela dá a solução em função dos dados iniciais sem resolver PDEs complicadas — é exatamente o que queremos aqui porque só temos u(x,0) e u_t(x,0).
Vou introduzir notação para os dados iniciais:
  • Seja \;f(x)=u(x,0)=\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)\;.
  • Seja \;g(x)=u_{t}(x,0)=4+x\;.
A fórmula de d’Alembert (explicada a seguir) usa essas funções.

Passo 3

Enunciando e explicando a fórmula de d’Alembert (aula rápida):
  • A fórmula de d’Alembert para a solução da equação \;u_{t t}=c^{2}u_{x x}\; com dados u(x,0)=f(x) e u_t(x,0)=g(x) é
u(x,t)=\frac{1}{2}\bigl(f(x+ct)+f(x-ct)\bigr) +\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{\,x+ct} g(s)\,ds.
  • Interpretação rápida: o primeiro termo é a média dos perfis f deslocados ao longo das características x\pm ct; o segundo termo incorpora o efeito da velocidade inicial g através de uma integral sobre o intervalo entre as características. Aqui c>0 é a velocidade de propagação, t é o tempo, x é a posição, e s é a variável de integração.
Agora vamos aplicar essa fórmula com as funções f e g dadas.

Passo 4

Substituindo f e g na fórmula de d’Alembert (passo computacional):
  • Substituição formal:
u(x,t)=\frac{1}{2}\Bigl(\ln\bigl(1+(x+ct)^{2}\bigr)+\ln\bigl(1+(x-ct)^{2}\bigr)\Bigr) +\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{\,x+ct}\bigl(4+s\bigr)\,ds.
Aqui foi usada a definição f(s)=\ln(1+s^{2}) e g(s)=4+s. A tarefa agora é avaliar a integral explicitamente.

Passo 5

Calcular a integral \displaystyle\int_{x-ct}^{\,x+ct}\bigl(4+s\bigr)\,ds passo a passo:
  • Separar a integral:
\int_{x-ct}^{\,x+ct}\bigl(4+s\bigr)\,ds = \int_{x-ct}^{\,x+ct}4\,ds + \int_{x-ct}^{\,x+ct}s\,ds.
  • Primeiro termo: \displaystyle\int_{x-ct}^{\,x+ct}4\,ds = 4\bigl((x+ct)-(x-ct)\bigr)=4\cdot(2ct)=8ct.
  • Segundo termo: \displaystyle\int_{x-ct}^{\,x+ct}s\,ds=\frac{1}{2}\bigl[(x+ct)^{2}-(x-ct)^{2}\bigr].
    Calcular a diferença de quadrados:
(x+ct)^{2}-(x-ct)^{2}= \bigl(x^{2}+2xct+c^{2}t^{2}\bigr) - \bigl(x^{2}-2xct+c^{2}t^{2}\bigr)=4xct.
Logo
\int_{x-ct}^{\,x+ct}s\,ds=\frac{1}{2}\cdot 4xct=2xct.
  • Somando os dois resultados:
\int_{x-ct}^{\,x+ct}\bigl(4+s\bigr)\,ds = 8ct + 2xct = 2ct\bigl(4+x\bigr).
  • Agora multiplicar pelo fator \dfrac{1}{2c} da fórmula:
\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{\,x+ct}\bigl(4+s\bigr)\,ds = \frac{1}{2c}\cdot 2ct\bigl(4+x\bigr) = t\bigl(4+x\bigr).

Passo 6

Colocando as partes juntas (ainda evitando repetir a resposta final em bloco; aqui estão as duas contribuições que foram obtidas):
  • A contribuição do deslocamento inicial (primeiro termo da d’Alembert) é
\frac{1}{2}\Bigl(\ln\bigl(1+(x+ct)^{2}\bigr)+\ln\bigl(1+(x-ct)^{2}\bigr)\Bigr).
  • A contribuição da velocidade inicial (segunda termo já avaliado) é
t\bigl(4+x\bigr).

Passo 7

Verificação rápida das condições iniciais (checar para aumentar confiança):
  • Em t=0: a contribuição logarítmica dá \tfrac{1}{2}\bigl(\ln(1+x^{2})+\ln(1+x^{2})\bigr)=\ln(1+x^{2}) e o termo em t zera, portanto u(x,0)=\ln(1+x^{2}) (ok).
  • Derivando em t e avaliando em t=0: a derivada temporal dos termos logarítmicos é proporcional a c e contém (x+ct)/(1+(x+ct)^{2})-(x-ct)/(1+(x-ct)^{2}), que se anula em t=0; o termo t(4+x) tem derivada 4+x. Assim u_{t}(x,0)=4+x (ok). Então os dados iniciais são satisfeitos.

Resposta

u(x,t)=\frac{1}{2}\Bigl(\ln\bigl(1+(x+ct)^{2}\bigr)+\ln\bigl(1+(x-ct)^{2}\bigr)\Bigr)+t\bigl(4+x\bigr).

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