Questão 3. Considere a equação do transporte
u_{x}+y u_{y}=0
com a condição de fronteira u(x, 0)=\varphi(x).
(a) Para \varphi(x)=x, mostre que a EDP (1) não tem solução.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação do transporte
u_{x}+y\,u_{y}=0
com a condição de fronteira na linha y=0:
u(x,0)=\varphi(x).
A pergunta (a) especifica \varphi(x)=x e pede para mostrar que a EDP não tem solução. Vou assumir que por “solução” se entende uma solução clássica, isto é, uma função u com derivadas parciais contínuas (classe C^{1}) numa vizinhança da linha y=0 que satisfaça tanto a EDP quanto a condição de fronteira.

Passo 2

Primeiro vou usar uma ideia simples e direta: se u é C^{1} então posso avaliar a equação diferencial puntualmente na linha y=0. Substituindo y=0 na EDP obtemos
u_{x}(x,0)+0\cdot u_{y}(x,0)=0,
isto é,
u_{x}(x,0)=0.
Explico devagarinho: a EDP é válida para todos os pontos onde u é C^{1}. Se a linha y=0 está nesse domínio, basta pôr y=0 na expressão \,u_{x}+y\,u_{y}=0 para obter a relação acima.

Passo 3

Agora uso a condição de fronteira. Pela hipótese
u(x,0)=\varphi(x)=x.
Como u(\cdot,0) é a restrição de uma função C^{1}, posso derivar essa igualdade em x. Diferenciando ambos os lados em relação a x
u_{x}(x,0)=\varphi'(x).
Aqui estou apenas aplicando a regra básica: a derivada da restrição corresponde à derivada parcial u_x avaliada em y=0.

Passo 4

Calculando \varphi'(x) para \varphi(x)=x obtemos
\varphi'(x)=1.
Juntando com o resultado do Passo 2, que exige u_{x}(x,0)=0, temos a contradição clara
1=\varphi'(x)=u_{x}(x,0)=0.
Portanto, não pode existir função u\in C^{1} que satisfaça simultaneamente a EDP e a condição de fronteira \varphi(x)=x.

Passo 5

Para dar uma intuição extra (útil na prova): pelas características da EDP, as equações paramétricas seriam
\frac{dx}{dt}=1,\qquad \frac{dy}{dt}=y,\qquad \frac{du}{dt}=0.
Se uma característica parte de um ponto (s,0) da fronteira, tem condição inicial y(0)=0, e a solução de \frac{dy}{dt}=y com essa condição é y(t)\equiv0. Ou seja, as características que nascem na linha y=0 ficam presas em y=0 e não penetram no interior y\neq0. Isso explica por que a EDP impõe já na linha y=0 a condição adicional u_x(x,0)=0: a equação restringe as derivadas ao longo da própria fronteira. Como a \varphi dada não satisfaz essa compatibilidade, não há solução clássica que combine tudo.

Resposta

Não existe solução clássica u\in C^{1} da equação \,u_{x}+y\,u_{y}=0 que satisfaça u(x,0)=x.

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