Questão 3. Considere a equação do transporte
com a condição de fronteira
.
(a) Para
, mostre que a EDP (1) não tem solução.
(a) Para
Passo 1
O enunciado nos dá a equação do transporte
com a condição de fronteira na linha
:
A pergunta (a) especifica
e pede para mostrar que a EDP não tem solução. Vou assumir que por “solução” se entende uma solução clássica, isto é, uma função
com derivadas parciais contínuas (classe
) numa vizinhança da linha
que satisfaça tanto a EDP quanto a condição de fronteira.
Passo 2
Primeiro vou usar uma ideia simples e direta: se
é
então posso avaliar a equação diferencial puntualmente na linha
. Substituindo
na EDP obtemos
isto é,
Explico devagarinho: a EDP é válida para todos os pontos onde
é
. Se a linha
está nesse domínio, basta pôr
na expressão
para obter a relação acima.
Passo 3
Agora uso a condição de fronteira. Pela hipótese
Como
é a restrição de uma função
, posso derivar essa igualdade em
. Diferenciando ambos os lados em relação a
dá
Aqui estou apenas aplicando a regra básica: a derivada da restrição corresponde à derivada parcial
avaliada em
.
Passo 4
Calculando
para
obtemos
Juntando com o resultado do Passo 2, que exige
, temos a contradição clara
Portanto, não pode existir função
que satisfaça simultaneamente a EDP e a condição de fronteira
.
Passo 5
Para dar uma intuição extra (útil na prova): pelas características da EDP, as equações paramétricas seriam
Se uma característica parte de um ponto
da fronteira, tem condição inicial
, e a solução de
com essa condição é
. Ou seja, as características que nascem na linha
ficam presas em
e não penetram no interior
. Isso explica por que a EDP impõe já na linha
a condição adicional
: a equação restringe as derivadas ao longo da própria fronteira. Como a
dada não satisfaz essa compatibilidade, não há solução clássica que combine tudo.
Resposta
Não existe solução clássica
da equação
que satisfaça
.