Questão 3
Resolva as seguintes integrais:
\int_{0}^{\infty} \sin \left(\omega_{0} t\right) e^{-s t} d t, \operatorname{com} s \in \mathbb{C}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} \sin\!\left(\omega_{0} t\right) e^{-s t}\,dt,
onde s\in\mathbb{C}. As informações/dados que temos são:
  • A variável de integração é t e o intervalo é [0,\infty).
  • A função integranda é \sin\!\left(\omega_{0} t\right)e^{-s t}.
  • s é um parâmetro complexo geral.
  • \omega_{0} é um parâmetro (assumir aqui que \omega_{0}\in\mathbb{R}; o caso \omega_{0}=0 será verificado separadamente).
    O que se pede é o valor da integral (quando convergente) e, implicitamente, em que condição sobre s essa integral converge.

Passo 2

Estratégia (por que escolhi este caminho): transformar \sin em exponenciais complexas deixa a integral como soma/diferença de integrais de exponenciais do tipo \int_0^\infty e^{-a t}\,dt, que são muito fáceis de avaliar e permitem identificar a condição de convergência automaticamente. Esta é a técnica padrão e a mais direta aqui.
Recordando a identidade de Euler:
e^{i x}=\cos x + i\sin x, \qquad e^{-i x}=\cos x - i\sin x.
Subtraindo as duas igualdades e dividindo por 2i obtemos a fórmula
\sin x=\frac{e^{i x}-e^{-i x}}{2i}.
Aplicando isso com x=\omega_{0} t temos
\sin\!\left(\omega_{0} t\right)=\frac{e^{i\omega_{0} t}-e^{-i\omega_{0} t}}{2i}.

Passo 3

Substituo essa expressão na integral e separo em duas integrais:
\int_{0}^{\infty} \sin\!\left(\omega_{0} t\right) e^{-s t}\,dt = \frac{1}{2i}\int_{0}^{\infty}\bigl(e^{i\omega_{0} t}-e^{-i\omega_{0} t}\bigr)e^{-s t}\,dt.
Agrupando os exponenciais:
\frac{1}{2i}\left(\int_{0}^{\infty} e^{-(s - i\omega_{0})t}\,dt - \int_{0}^{\infty} e^{-(s + i\omega_{0})t}\,dt\right).

Passo 4

Agora uso a fórmula básica para a integral exponencial: para um parâmetro complexo a tal que \Re(a)>0,
\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\,dt = \lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R} e^{-a t}\,dt = \lim_{R\to\infty}\frac{1-e^{-a R}}{a}=\frac{1}{a}.
A condição \Re(a)>0 garante que e^{-a R}\to 0 quando R\to\infty, fazendo a integral convergir. No nosso caso os parâmetros são
a_1 = s - i\omega_{0},\qquad a_2 = s + i\omega_{0},
e ambos têm a mesma parte real \Re(a_1)=\Re(a_2)=\Re(s). Portanto a condição de convergência das duas integrais é
\Re(s)>0.

Passo 5

Assumindo \Re(s)>0, avalio as duas integrais pela fórmula anterior:
\int_{0}^{\infty} e^{-(s - i\omega_{0})t}\,dt=\frac{1}{s - i\omega_{0}}, \qquad \int_{0}^{\infty} e^{-(s + i\omega_{0})t}\,dt=\frac{1}{s + i\omega_{0}}.
Logo a integral original vale
\frac{1}{2i}\left(\frac{1}{s - i\omega_{0}}-\frac{1}{s + i\omega_{0}}\right).
Faço a simplificação algébrica: colocar em denominador comum,
\frac{1}{2i}\cdot\frac{(s + i\omega_{0})-(s - i\omega_{0})}{(s - i\omega_{0})(s + i\omega_{0})} =\frac{1}{2i}\cdot\frac{2i\omega_{0}}{s^{2}+\omega_{0}^{2}} =\frac{\omega_{0}}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}.

Passo 6

Resumo das condições e observações úteis para a prova:
  • A integral imprópria converge (no sentido usual de integral impropria) exatamente quando \Re(s)>0. Essa condição apareceu porque precisamos que \Re(s\pm i\omega_{0})>0 para que os termos exponenciais se anulem no infinito.
  • Para \Re(s)\leq 0 a integral não converge no sentido usual (pelo menos não como uma integral de Riemann/imprópria); pode-se, em contextos avançados, interpretar o resultado por continuação analítica (isto é, a fórmula \omega_{0}/(s^{2}+\omega_{0}^{2}) é uma continuação meromorfa com polos em s=\pm i\omega_{0}), mas isso foge ao âmbito de uma prova básica.
  • Caso \omega_{0}=0 temos \sin(0\cdot t)=0 e a integral é 0; a fórmula dá 0/(s^{2}+0)=0, consistente.
  • Dica prática para a prova: quando aparecer produto de seno/cosseno por exponencial \,e^{-s t}, usar a representação exponencial complexa geralmente é a maneira mais direta.

Resposta

\frac{\omega_{0}}{s^{2}+\omega_{0}^{2}},\qquad \text{para } \Re(s)>0.

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