Questão 3
Resolva as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
onde
. As informações/dados que temos são:
- A variável de integração é
e o intervalo é . - A função integranda é
. -
é um parâmetro complexo geral. -
é um parâmetro (assumir aqui que ; o caso será verificado separadamente).
O que se pede é o valor da integral (quando convergente) e, implicitamente, em que condição sobreessa integral converge.
Passo 2
Estratégia (por que escolhi este caminho): transformar
em exponenciais complexas deixa a integral como soma/diferença de integrais de exponenciais do tipo
, que são muito fáceis de avaliar e permitem identificar a condição de convergência automaticamente. Esta é a técnica padrão e a mais direta aqui.
Recordando a identidade de Euler:
Subtraindo as duas igualdades e dividindo por
obtemos a fórmula
Aplicando isso com
temos
Passo 3
Substituo essa expressão na integral e separo em duas integrais:
Agrupando os exponenciais:
Passo 4
Agora uso a fórmula básica para a integral exponencial: para um parâmetro complexo
tal que
,
A condição
garante que
quando
, fazendo a integral convergir. No nosso caso os parâmetros são
e ambos têm a mesma parte real
. Portanto a condição de convergência das duas integrais é
Passo 5
Assumindo
, avalio as duas integrais pela fórmula anterior:
Logo a integral original vale
Faço a simplificação algébrica: colocar em denominador comum,
Passo 6
Resumo das condições e observações úteis para a prova:
- A integral imprópria converge (no sentido usual de integral impropria) exatamente quando
. Essa condição apareceu porque precisamos que para que os termos exponenciais se anulem no infinito. - Para
a integral não converge no sentido usual (pelo menos não como uma integral de Riemann/imprópria); pode-se, em contextos avançados, interpretar o resultado por continuação analítica (isto é, a fórmula é uma continuação meromorfa com polos em ), mas isso foge ao âmbito de uma prova básica. - Caso
temos e a integral é ; a fórmula dá , consistente. - Dica prática para a prova: quando aparecer produto de seno/cosseno por exponencial
, usar a representação exponencial complexa geralmente é a maneira mais direta.