Questão 4
Use a regra de Cramer para resolver os sistemas:
2 x_{1}+x_{2}+x_{3}=3
x_{1}+3 x_{2}-x_{3}=7
x_{1}+x_{2}+x_{3}=1

Passo 1

O enunciado dá o seguinte sistema linear de três equações e três incógnitas (peguei tudo do enunciado):
\begin{cases} 2x_{1}+x_{2}+x_{3}=3,\\[4pt] x_{1}+3x_{2}-x_{3}=7,\\[4pt] x_{1}+x_{2}+x_{3}=1. \end{cases}
O que se pede: encontrar os valores de x_{1}, x_{2} e x_{3}.]

Passo 2

Vamos aplicar a regra de Cramer. Primeiro explico a regra de forma bem direta e prática.
  • Seja o sistema linear A\mathbf{x}=\mathbf{b}, onde A é a matriz dos coeficientes 3\times3, \mathbf{x}=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T} e \mathbf{b} é o vetor dos termos independentes.
  • Definir D=\det(A). Para cada i\in\{1,2,3\} define-se D_{i} como o determinante da matriz obtida a partir de A substituindo a i-ésima coluna por \mathbf{b}.
  • A regra de Cramer diz:
x_{i}=\frac{D_{i}}{D},\qquad i=1,2,3,
desde que D\neq 0.
Agora explico como calcular o determinante de uma matriz 3\times3 de forma prática (regra de Sarrus):
Seja
M=\begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{pmatrix}.
A regra de Sarrus diz:
\det(M)=(a e i + b f g + c d h) - (c e g + a f h + b d i).
É só multiplicar essas diagonais, somar as três do primeiro grupo, depois somar as três do segundo grupo e subtrair.

Passo 3

Escrevo a matriz dos coeficientes A e o vetor \mathbf{b} (peguei os números do enunciado):
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 3 & -1\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]7\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Calculo D=\det(A) pela regra de Sarrus. No template de Sarrus:
a=2,\\ b=1,\\ c=1,\\ d=1,\\ e=3,\\ f=-1,\\ g=1,\\ h=1,\\ i=1.
Agora os produtos:
\text{(grupo positivo)}=a e i + b f g + c d h = 2\cdot3\cdot1 + 1\cdot(-1)\cdot1 + 1\cdot1\cdot1 = 6 -1 +1 =6.
\text{(grupo negativo)}=c e g + a f h + b d i = 1\cdot3\cdot1 + 2\cdot(-1)\cdot1 + 1\cdot1\cdot1 = 3 -2 +1 =2.
Portanto
D = 6-2=4.
Como D\neq 0, o sistema tem solução única e podemos aplicar Cramer.]

Passo 4

Calculo D_{1}: substituir a primeira coluna por \mathbf{b},
D_{1}=\det\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1\\[4pt] 7 & 3 & -1\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Usando Sarrus:
\text{positivo}=3\cdot3\cdot1 + 1\cdot(-1)\cdot1 + 1\cdot7\cdot1 = 9 -1 +7 =15.
\text{negativo}=1\cdot3\cdot1 + 3\cdot(-1)\cdot1 + 1\cdot7\cdot1 = 3 -3 +7 =7.
Assim
D_{1}=15-7=8.]

Passo 5

Calculo D_{2}: substituir a segunda coluna por \mathbf{b},
D_{2}=\det\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\[4pt] 1 & 7 & -1\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Sarrus:
\text{positivo}=2\cdot7\cdot1 + 3\cdot(-1)\cdot1 + 1\cdot1\cdot1 = 14 -3 +1 =12.
\text{negativo}=1\cdot7\cdot1 + 2\cdot(-1)\cdot1 + 3\cdot1\cdot1 = 7 -2 +3 =8.
Logo
D_{2}=12-8=4.]

Passo 6

Calculo D_{3}: substituir a terceira coluna por \mathbf{b},
D_{3}=\det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3\\[4pt] 1 & 3 & 7\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Sarrus:
\text{positivo}=2\cdot3\cdot1 + 1\cdot7\cdot1 + 3\cdot1\cdot1 = 6 +7 +3 =16.
\text{negativo}=3\cdot3\cdot1 + 2\cdot7\cdot1 + 1\cdot1\cdot1 = 9 +14 +1 =24.
Portanto
D_{3}=16-24=-8.]

Passo 7

Agora aplico a regra de Cramer para obter as incógnitas:
x_{1}=\frac{D_{1}}{D}=\frac{8}{4} = 2,
x_{2}=\frac{D_{2}}{D}=\frac{4}{4} = 1,
x_{3}=\frac{D_{3}}{D}=\frac{-8}{4} = -2.
Se quiser, dá para verificar rapidamente substituindo (x_{1},x_{2},x_{3})=(2,1,-2) nas três equações e confirmar que cada igualdade é satisfeita (fica como exercício rápido para praticar).

Resposta

x_{1}=2
x_{2}=1
x_{3}=-2

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