Questão 2. Resolva os seguintes sistemas achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seu posto, o postos da matriz dos coeficientes e, se o sistema admitir solução, o grau de liberdade.
\left\{\begin{aligned}-x+2 y-z & =2 \\\\ -2 x+2 y+z & =4 \\\\ 3 x+2 y+2 z & =5 \\\\ -3 x+8 y+5 z & =17\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de quatro equações lineares em três incógnitas (x,y,z) e pede que a gente:
  1. Monte a matriz ampliada e reduza-a à forma escada (eliminação de Gauss).
  2. Calcule o posto da matriz de coeficientes e o posto da matriz ampliada.
  3. Verifique se o sistema é compatível e, em caso afirmativo, determine o grau de liberdade (número de incógnitas menos o posto).
Conteúdo: método de eliminação de Gauss para resolução de sistemas e definição de posto e grau de liberdade.

Passo 2

Montamos a matriz ampliada do sistema
\left[\begin{array}{ccc|c} -1 & 2 & -1 & 2\\\\ -2 & 2 & 1 & 4\\\\ 3 & 2 & 2 & 5\\\\ -3 & 8 & 5 & 17 \end{array}\right].

Passo 3

Aplicamos eliminação de Gauss para escalonar:
  1. R_1\leftarrow -R_1 para ter pivô 1 na primeira linha.
  2. Eliminações na coluna 1: R_2\leftarrow R_2+2R_1,\quad R_3\leftarrow R_3-3R_1,\quad R_4\leftarrow R_4+3R_1.
  3. Normalizamos o pivô da segunda linha e eliminamos abaixo: R_2\leftarrow -\tfrac12R_2,\quad R_3\leftarrow R_3-8R_2,\quad R_4\leftarrow R_4-2R_2.
Após essas operações chegamos a
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & -2\\\\ 0 & 1 & -\tfrac32& 0\\\\ 0 & 0 & 11 & 11\\\\ 0 & 0 & 11 & 11 \end{array}\right].

Passo 4

Continuamos escalonando na terceira coluna:
R_3\leftarrow \tfrac1{11}R_3,\quad R_4\leftarrow R_4-R_3.
Fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & -2\\\\ 0 & 1 & -\tfrac32 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right],
que é a forma escada final (não precisamos zerar acima para posto).

Passo 5

O número de linhas não nulas na parte dos coeficientes é 3, logo
o posto da matriz de coeficientes é \mathrm{rank}(A)=3.

Passo 6

A linha extra da matriz ampliada também não introduz contradição (a última linha é 0=0), então
\mathrm{rank}([A|b])=3. Como \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([A|b])=3, o sistema é compatível.
O grau de liberdade é
\text{número de incógnitas} - \mathrm{rank}(A) =3-3=0.úó

Resposta

Matriz ampliada em forma escada:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & -2\\\\ 0 & 1 & -\tfrac32 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
posto \,(A)=3, posto \,([A|b])=3, grau de liberdade =0.

Exercícios relacionados